某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金

b

n

元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
（1）设a_k（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必证明）；
（2）证明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为P_n（b）．对常数b，当n变化时，求

lim

n→∞

P_n（b）（可用公式

lim

n→∞

（1-

1

n

）ⁿ=

1

e

）．

已知f(n)=(2n+7)3ⁿ+9,存在自然数m,使得对任意正整数n,都能使m整除f(n)，猜测出最大的m的值。并用数学归纳法证明你的猜测是正确的。

【解析】本试题主要考查了归纳猜想的运用，以及数学归纳法的证明。

∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除

然后证明n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2?(k≥2)  证明得到。解析  ∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 

证明  n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，

f(k)=(2k+7)·3^k+9能被36整除，则n=k+1时，

f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3^k+1?－(2k+7)·3^k=(6k+27)·3^k－(2k+7)·3^k

=(4k+20)·3^k=36(k+5)·3^k－2?(k≥2)  f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36

 

先阅读下列不等式的证法：
已知a₁，a₂∈R，a₁²+a₂²=1，求证：|a₁+a2|≤

2

．
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，则f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂）²-8≤0，故得|a₁+a2|≤

2

．
再解决下列问题：
（1）若a₁，a₂，a₃∈R，a₁²+a₂²+a₃²=1，求证|a₁+a2+a3|≤

3

；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．