已知△ABC的内角满足若， 且满足：，，为与的夹角.

（Ⅰ）求;

（Ⅱ）求;

【解析】第一问利用二倍角公式化简∵∴∴∴或（舍去）又角B是△ABC的内角∴

第二问中∵,，为与的夹角

∴=又∴,∴==

(Ⅰ) 解：∵∴

∴∴或（舍去）…………2分

又角B是△ABC的内角∴ ………………2分

(Ⅱ) 解：∵,，为与的夹角

∴= ………………2分

又∴,………………2分

∴==

分析：凡是与向量夹角有关的问题，多用数量积公式a·b=|a||b|cosθ来解决，只需求出a·b、|a|²、|b|²，即可转化为实数不等式.

在中，满足,是边上的一点.

（Ⅰ）若,求向量与向量夹角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m为正常数) 且是边上的三等分点.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

【解析】第一问中，利用向量的数量积设向量与向量的夹角为，则

令=，得，又，则为所求

第二问因为，=m所以，

（1）当时，则= 

（2）当时，则=

第三问中，解：设,因为，；

所以即于是得

从而

运用三角函数求解。

（Ⅰ）解：设向量与向量的夹角为，则

令=，得，又，则为所求……………2分

(Ⅱ)解：因为，=m所以，

（1）当时，则=；-2分

（2）当时，则=；--2分

（Ⅲ）解：设,因为，；

所以即于是得

从而---2分

==

=…………………………………2分

令，则，则函数，在递减，在上递增，所以从而当时，