已知函数，.

（Ⅰ）若函数依次在处取到极值.求的取值范围；

（Ⅱ）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数的最大值.

【解析】第一问中利用导数在在处取到极值点可知导数为零可以解得方程有三个不同的实数根来分析求解。

第二问中，利用存在实数，使对任意的，不等式 恒成立转化为，恒成立，分离参数法求解得到范围。

解：（1）

①

（2）不等式 ，即，即.

转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.

即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立.

设，则.

设，则，因为，有.

故在区间上是减函数。又

故存在，使得.

当时，有，当时，有.

从而在区间上递增，在区间上递减.

又[来源:]

所以当时，恒有；当时，恒有；

故使命题成立的正整数m的最大值为5

设数列的各项均为正实数，，若数列满足，，其中为正常数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若，设数列对任意的，都有成立，问数列是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由.

（Ⅰ）证明：对任意实数，数列不是等比数列；

（Ⅱ）证明：当

（Ⅲ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有

     若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.