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    例1．已知导函数的下列信息: 当时., 当.或时., 当.或时. 试画出函数图像的大致形状． 解:当时..可知在此区间内单调递增, 当.或时.,可知在此区间内单调递减, 当.或时..这两点比较特殊.我们把它称为“临界点 ． 综上.函数图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性.并求出单调区间． (1), (2) (3), (4) 解:(1)因为.所以. 因此.在R上单调递增.如图3.3-5(1)所示． (2)因为.所以. 当.即时.函数单调递增, 当.即时.函数单调递减, 函数的图像如图3.3-5(2)所示． (3)因为.所以. 因此.函数在单调递减.如图3.3-5(3)所示． (4)因为.所以 ． 当.即 时.函数 , 当.即 时.函数 , 函数的图像如图3.3-5(4)所示． 注:生练 例3．如图3.3-6.水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中.请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像． 分析:以容器(2)为例.由于容器上细下粗.所以水以常速注入时.开始阶段高度增加得慢.以后高度增加得越来越快．反映在图像上.(A)符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解: 思考:例3表明.通过函数图像.不仅可以看出函数的增减.还可以看出其变化的快慢．结合图像.你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗? 一般的.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大.那么函数在这个范围内变化的快.这时.函数的图像就比较“陡峭 ,反之.函数的图像就“平缓 一些． 如图3.3-7所示.函数在或内的图像“陡峭 . 在或内的图像“平缓 ． 例4．求证:函数在区间内是减函数． 证明:因为 当即时..所以函数在区间内是减函数． 说明:证明可导函数在内的单调性步骤: (1)求导函数, (2)判断在内的符号, (3)做出结论:为增函数.为减函数． 例5．已知函数 在区间上是增函数.求实数的取值范围． 解:.因为在区间上是增函数.所以对恒成立.即对恒成立.解之得: 所以实数的取值范围为． 说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型.常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增.则,若函数单调递减.则 来求解.注意此时公式中的等号不能省略.否则漏解． 例6．已知函数y=x+.试讨论出此函数的单调区间. 解:y′=(x+)′ =1-1·x-2= 令＞0. 解得x＞1或x＜-1. ∴y=x+的单调增区间是. 令＜0.解得-1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的单调减区间是 【查看更多】

     

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