题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分15分）
已知函数
，其中
，
（
），若
相邻两对称轴间的距离不小于
．
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，
，当最大时，
，求的面积．
（本小题满分15分）
某旅游商品生产企业，2009年某商品生产的投入成本为1元/件，
出厂价为流程图的输出结果
元/件，年销售量为10000件，
因2010年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，
计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的
比例为
（
），则出厂价相应提高的比例为
，
同时预计销售量增加的比例为
．
已知得利润
（出厂价
投入成本）
年销售量．
（Ⅰ）写出2010年预计的年利润
与投入成本增加的比例的关系式；
（Ⅱ）为使2010年的年利润比2009年有所增加，
问：投入成本增加的比例应在什么范围内？
（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y.
（1）设
，把y表示成
的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
（本小题满分15分）
如图，已知圆O：x2+y2=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为
的椭圆，其右焦点为F．若点P(－1,1)为圆O上一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．
（本小题满分15分）已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{bn}满足
，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm(m∈N*)的等比中项，求正整数m的值．
一：填空题
1、2； 2、
x∈R，使x2+1＜x； 3、π； 4、；
5、既不充分也不必要条件；
6、1+i； 7、； 8、5； 9、； 10、(-∞, -)∪(,+∞)；
11、2或5； 12、9； 13、b1?b22?b33?…?bnn=； 14、；
二:
解答题
15．解：（1）∵(a=(cosα,sinα) (b=(cosβ,sinβ)
∴(a?(b=cos(α-β) =cos= …………………………………………5分
（2）∵
∴
………7分
α+β=2α-(α-β)= -(α-β)
……………………………………9分
∴
或
或7……………14分
16、证明：（1）令BC中点为N，BD中点为M，连结MN、EN
∵MN是△ABC的中位线
∴ MN∥CD …………………………2分
由条件知AE∥CD ∴MN∥AE 又MN=CD=AE
∴四边形AEMN为平行四边形
∴AN∥EM …………………………4分
∵AN
面BED, EM
面BED
∴AN∥面BED……………………6分
（2） ∵AE⊥面ABC, AN
面ABC
∴AE⊥AN 又∵AE∥CD,AN∥EM∴EM⊥CD………………8分
∵N为BC中点，AB=AC∴AN⊥BC
∴EM⊥BC………………………………………………10分
∴EM⊥面BCD…………………………………………12分
∵EM面BED ∴ 面BED⊥面BCD ……14分
17．解：（1）取弦的中点为M，连结OM
由平面几何知识，OM=1
…………………………………………3分
解得：
，
………………………………………5分
∵直线过F、B ，∴
则
…………………………………………7分
（2）设弦的中点为M，连结OM
则
……………………………………10分
解得
…………………………………………12分
∴
……………………………15分
18．（1）延长BD、CE交于A，则AD=
，AE=2
则S△ADE= S△BDE= S△BCE=
, ∵S△APQ=，
∴
∴
…………………7分
（2）
=
?
………………12分
当
，即
……15分
19．解（1）证：
由
得
在C1上点
处的切线为y-2e=2(x-e)，即y=2x
又在C2上点处切线可计算得y-2e=2(x-e)，即y=2x
∴直线l与C1、C2都相切，且切于同一点（e,2e） …………………5分
（2）据题意：M(t, +e),N(t,2elnt),P(t,2t)
∵+e-2t=≥0,∴+e ≥2t
设h(t)= 2t-2elnt，则由h/(t)=2-=0得t=e ；
当t∈（0,e）时h/(t)＜0，h(t)单调递减；且当t∈（e,+∞）时h/(t)＞0，h(t)单调递增；
∴t＞0有h(t)≥h(e)=0 ∴2t≥2elnt
∴f(t)=+e-2t-(2t-2elnt)= +e -4t+2elnt………………4分
f(t)= +2e-4==≥0…………………7分
∴
在
上递增∴当
时
………10分
（3）
设上式为
，假设
取正实数，则
?
当
时，
，
递减；
当
，
，递增． ……………………………………12分
∵
∴不存在正整数，使得
即
…………………16分
20．解：（1）
，
，
对一切
恒成立
的最小值，又
，
………………4分
（2）
这5个数中成等比且公比的三数只能为
只能是
，
…………………………8分
,
,
，
显然成立
……………………………………12分
当
时，
，
∴
∴使成立的自然数n恰有4个正整数的p值为3……16分
三：理科附加题
21． A．解：(1)
∴
∴AB=CD
…………………………4分
（2）由相交弦定理得2×1=(3+OP)(3-OP)
∴
，∴
……………………………………10分
B．解：依题设有：
………………………………………4分
令
，则
…………………………………………5分
…………………………………………7分
………………………………10分
C．解：以有点为原点，极轴为
轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
为圆
的直角坐标方程． ……………………………………3分
同理
为圆
的直角坐标方程． ……………………………………6分
（2）由
相减得过交点的直线的直角坐标方程为
． …………………………10分
D．证明：（1）因为
所以
…………………………………………4分
（2）∵
…………………………………………6分
同理，
，
……………………………………8分
三式相加即得
……………………………10分
22．解：（1）记“恰好选到1个曾参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的
,
则其概率为
…………………………………………4分
答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为
（2）随机变量
P(ξ=2)= =; P(ξ=3)= =;
………7分
2
3
4
P
∴随机变量的分布列为
………………10分
23．（1）
，
，
，
，
,
………………3分
（2）平面BDD1的一个法向量为
，设平面BFC1的法向量为
∴
取
得平面BFC1的一个法向量
∴所求的余弦值为
……………………………………6分
（3）设
（
）
，由
得
即
，
,当
时，
当
时，∴
……………10分
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