如图，已知P、O分别是正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA₁，其中k为非零实数，
（1）求证：A₁E∥平面PBC；
（2）当时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

如图，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁，BC的中点，点P在线段A₁B₁上，且

（1）证明：无论取何值，总有AM⊥PN；

（2）当时，求直线PN与平面ABC所成角的正切值.

 

已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别是（-1,0）和（1,0）

(1)求这个椭圆的标准方程；

（2）如果直线与这个椭圆交于不同的两点，求的取值范围．

（3）若（2）中，求该直线与此椭圆相交所得弦长．

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点．
（Ⅰ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一点P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由．