已知抛物线C：y=x2+4x+

2

7

，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．
（Ⅰ）若C在点M的法线的斜率为-

1

2

，求点M的坐标（x₀，y_0^）；
（Ⅱ）设P（-2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．

已知函数f(x)=

x 1 3 -x- 1 3

5

，g(x)=

x 1 3 +x- 1 3

5

；
（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；
（Ⅱ）证明f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
（Ⅲ）分别计算f（4）-5f（2）•g（2）和f（9）-5f（3）•g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．
（Ⅲ）若p和q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足0＜p＜q＜

1

a

，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p-a．

A、-2

B、-1

C、1

D、4

已知函数f（x）=lnax-

x-a

x

（a≠0）．
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：a=1时，对于任意正整数n，均有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≥ln

en

n!

；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．