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    20．设数列的各项都是正数.. . .学科网 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分16分）

    设数列的通项是关于x的不等式的解集中整数的个数．

    （Ⅰ）求，并且证明是等差数列；

    （Ⅱ）设m、k、p∈N*，m+p=2k，为的前n项和．求证：＋≥；

    （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．

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    (本小题满分16分)已知数列的各项均为正数，表示该数列前项的和，且对任意正整数，恒有，设．

    （1）求；

    （2）求数列的通项公式；

    （3）求数列的最小项．

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    （本小题满分16分）

    已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前n项和。

      （1）求函数的表达式；  （2）求数列的通项公式；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的整数I的个数称为这个数列的变号数。令（n为正整数），求数列的变号数.

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    （本小题满分16分）

    已知数列是各项均为正数的等差数列．

    （1）若，且，，成等比数列，求数列的通项公式；

    （2）在（1）的条件下，数列的前和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值；

    （3）若数列中有两项可以表示为某个整数的不同次幂，求证：数列　中存在无穷多项构成等比数列．

     

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    （本小题满分16分）（本题中必要时可使用公式：）　

    　设是各项均为正数的无穷项等差数列．

    （Ⅰ）记，

    已知，试求此等差数列的首项a1及公差d；

    （Ⅱ）若的首项a1及公差d都是正整数，问在数列中是否包含一个非常数列　

    　的无穷项等比数列？若存在，请写出的构造过程；若不存在，说明理由．

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    一、填空题

    1．   2．,    3．    4．2   5．1     6．

    7．50   8．  9．-2   10．    11．2     12．

    13．2     14．

    二、解答题

    15[解]：证：设   ,连 。                    

     ⑴  ∵为菱形，   ∴ 为中点，又为中点。

          ∴∥                              （5分） 

          又 , ∴∥（7分）

     ⑵ ∵为菱形，   ∴,              （9分）

       又∵，  ∴   （12分）

       又     ∴ 又

             ∴             （14分）

    16[解]：解：⑴ ∵ ， ∴  ，∴ （1分）

           又                         （3分）

            ∴

            ∴ 。                        （6分）

            ⑵， （8分）

            ∵，∴， 。

            ∴                （10分）

             

                 （13分）

              （当 即 时取“”）   

    所以的最大值为,相应的    (14分)

    17．解：⑴直线的斜率 ，中点坐标为 ，

            ∴直线方程为     （4分）

            ⑵设圆心，则由在上得：

                                 ①      

            又直径,,

    又         

    ∴            ②       （7分）

    由①②解得或

    ∴圆心 或                  

    ∴圆的方程为  或  （9分）                         

     ⑶  ，∴ 当△面积为时 ，点到直线的距离为 。                   （12分）

     又圆心到直线的距离为，圆的半径 且    

    ∴圆上共有两个点使 △的面积为  .  （14分）

    18[解] (1)乙方的实际年利润为：  ．   (5分)

    ，

    当时，取得最大值．

    　　    所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨)．…………………8分

    　(2)设甲方净收入为元，则．

    学科网(Zxxk.Com)　将代入上式，得：．   (13分)

    　　　　又

    　　　　令，得．

    　　　　当时，；当时，，所以时，取得最大值．

    　　　　因此甲方向乙方要求赔付价格 (元／吨)时，获最大净收入．　 (16分)

     

    19. 解：⑴ 由 得 ，令 得  （2分）

       ∴所求距离的最小值即为到直线的距离（4分）

                          （7分）

       ⑵假设存在正数，令 则（9分）

       由得：  

       ∵当时， ，∴为减函数；

       当时，，∴ 为增函数.

       ∴         （14分）

    ∴   ∴

    ∴的取值范围为        （16分）

     

    20. 解：⑴由条件得：  ∴  （3分）

         ∵ ∴ ∴为等比数列∴（6分）

          ⑵由   得            （8分）

         又   ∴                    （9分）

     ⑶∵

              

    （或由即）

    ∴为递增数列。                              （11分）

    ∴从而       （14分）

    ∴

                                （16分）

    附加题答案

    21.         (8分)

    22. 解：⑴①当时，

           ∴                                                      （2分）

            ②当时，

           ∴                                                 （4分）

            ③当时，

           ∴                                                （6分）

           综上该不等式解集为                                   (8分)

    23. （1）；       (6分)

    （2）AB=              (12分)

    24. 解： ⑴设为轨迹上任一点，则

                                                 （4分）

           化简得：   为求。                                （6分）

           ⑵设，，

             ∵  ∴                        （8分）

             ∴ 或 为求                                   （12分）


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