（2013•宜春模拟）课题：探求直角梯形剪开后进行旋转、平移操作相关问题．如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=10，AD=8．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．
观察计算：
（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度．
探索发现：
（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为20时，平移距离x的值（如图3）．
（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．

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如图，点E、F在?ABCD的对角线BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加一个条件

DF=BE

DF=BE

．（只需写出一个结论，不必考虑所有情况）．

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D是△ABC的BC边上一动点（B、C点除外），作△ABC的外接圆，点E在劣弧

BC

上．
（1）当AD为△ABC的高，且AE经过圆心时（如图）．求证：AB•AC=AE•AD；
（2）当AD与BC不垂直，且AE不过圆心时，要使（1）中的结论成立，还需增加一个什么条件？请说明你的理由．

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一. 填空题（每空4分，共48分）

  1. 请你写出：（1）一个比-1大的负数：____________；（2）一个二次三项式：____________。

  2. 请你写出：（1）经过点（0，2）的一条直线的解析式是________________________；（2）经过点（0，2）的一条抛物线的解析式是________________________。

  3. 如果菱形的面积不变，它的两条对角线的长分别是x和y，那么y是x的____________函数。（填写函数名称）

  4. 如图，△ADE和△ABC有公共顶点A，∠1＝∠2，请你添加一个条件：___________，使△ADE∽△ABC。

  5. 有一列数：1，2，3，4，5，6，……，当按顺序从第2个数数到第6个数时，共数了_______个数；当按顺序从第m个数数到第n个数（）时，共数了_______个数。

  6. 请你在“2，-3，4，-5，6”中任意挑选4个数，添加“＋，－，×，÷”和括号进行运算，使其计算结果为24，这个算式是_____________________。

  7. 已知三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式_________________。

  8. 观察下列各式：；……请你将猜想到的规律用自然数表示出来：____________________________。

  9. 下面是按照一定规律画出的一列“树型图”：

    经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出_______个“树枝”。

二. 选择题（每小题4分，共20分）

  10. 下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（    ）

  11. 某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过两小时，这种细胞由1个能分裂成（    ）

    A. 8个                                B. 16个                               C. 4个                                 D. 32个

  12. 1～54这54个自然数排列如下：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

……

49

50

51

52

53

54

    在这张数表中任意圈出一个竖列上相邻的3个数，和不可能是（    ）

    A. 66                                  B. 39                                  C. 40                                  D. 57

  13. 一张长方形的餐桌四周可坐6人（如图1），现有35人需围成一圈，开个茶话会，如果按如图2方式将桌子拼在一起，那么至少需要餐桌（    ）

    A. 14张                               B. 15张                                      C. 16张                               D. 32张

  14. 观察下列两组算式：

    （1），

    （2），……

    根据你发现的规律写出的末位数字是（    ）

    A. 2                                    B. 4                                    C. 8                                    D. 6

三. 解答题（第15－21题，每题10分，第22题12分，共82分）

  15. 如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点。

    （1）求证：AF⊥CD。

    （2）在你连结BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）

  16. 如图，有一块半圆形的木板，现要把它截成三角形板块。三角形的两个顶点分别为A、B，另一顶点在上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？（要求画出示意图并说明理由）

  17. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E。

    （1）求证：AB?DA＝CD?BE；

    （2）若点E在CB的延长线上运动，点A在上运动，使切线EA变为割线EFA，问具备什么条件时，原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）

  18. 某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种四种颜色的花。为了便于管理且美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同。现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在下面圆中画出两种设计方案。（只画示意图，不写作法）

  19. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。

    （1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD＝∠COB；

    （2）当点P’在劣弧上（不与C，D重合）时，∠CP’D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论。

  20. 已知钝角△ABC（如图）。你能否将△ABC分割成三个三角形，使其中之一是等腰三角形，另外的两个三角形相似？若能，请画出分割图并证明；若不能，请说明理由。

  21. 如图，△ABC内部有若干个点，用这些点以及△ABC的顶点A，B，C把原三角形分割成一些三角形（互相不重叠）。

    （1）填写下表：

△ABC内点的个数

1

2

3

4

……

n

分割成的三角形的个数

3

5

……

    （2）原△ABC能否被分割成2004个三角形？若能，求此时△ABC内部有多少个点？若不能，请说明理由。

 22. 如图，直径为13的⊙O’经过原点O，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长分别是方程的两根。

    （1）求线段OA，OB的长；

    （2）已知点C在劣弧上，连结BC交OA于D，当时，求C点的坐标；

    （3）在（2）的条件下，问：⊙O’上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

试题答案

一. 填空题。  1.   2.   3. 反比例  4. ∠D＝∠B  5. 5，

  6.   7.   8.   9. 80

二. 选择题。  10. C                   11. B          12. C          13. C          14. D

三. 解答题。  15. 证：（1）连结AC、AD

    （2）AF⊥BE，AF平分BE，BE∥CD

  16. 解：作OC⊥AB交于点C，连结AC、BC

    此时的面积最大

    证明：在上任取一点C’（与C不重合），过C’作CH⊥AB于H

    连AC’、BC’，设BH＝x，则（圆半径为R）

    当时，的最大值为，C’H最大为R

    ∴必有

  17. 证：（1）连结AC

    AE切⊙O于A

    A是的中点

    ABCD内接于⊙O

    （2）具备条件：（或BF＝DA，或∠BAF＝∠DCA，或FA∥BD等）

    就能使原结论成立

  18.

    AB⊥CD于O点

    AB⊥CD于O，分别以半径为直径画半圆。

  19. 证：（1）

    （2）互补

    证：CP’DP是⊙O的内接四边形

    已证：∠CPD＝∠COB

  20. 解：能，作∠CAE＝∠B，∠BAD＝∠C

    则△ABD∽△CAE

    ∴∠1＝∠2

    ∴△ADE为等腰三角形

  21. （1）

△ABC内点的个数

1

2

3

4

……

n

分割成的三角形的个数

3

5

7

9

……

2n+1

    （2）若△ABC能被分割成2004个三角形

    则

    不是整数

    ∴故原三角形不能被分割成2004个三角形

  22. 解：（1）连结AB

    ∵∠AOB为Rt∠

    ∴AB为直径

    又OA、OB是方程的两根

    又

    解<2>、<3>式得：

    （OA＞OB）

    （2）连结O’C交OA于E

    ∴O’C⊥OA

    ∴C点坐标（6，-4）

    （3）P不存在

    若假设存在

    则由C（6，-4），B（0，5）

    得BC直线的解析式为

    又∵⊙O’上到x轴距离的最大值为9

    ∴点P不在⊙O’上

    ∴不存在点P

    使