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如图，在直三棱柱中，，，为棱 上的一点，分别为、的重心．
（1）求证：；
（2）若二面角的正切值为，求两个半平面、所成锐二面角的余弦值；
（可选）若点在平面的射影正好为,试判断在平面的射影是否为．

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设D是△ABC的BC边上一点，把△ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C′在平面ABD上的射影H恰好在AB上．
（1）求证：直线C′D与平面ABD和平面AHC′所成的两个角之和不可能超过90°；
（2）若∠BAC=90°，二面角C′-AD-H为60°，求∠BAD的正切值．
???

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设D是△ABC的BC边上一点，把△ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C′在平面ABD上的射影H恰好在AB上．
（1）求证：直线C′D与平面ABD和平面AHC′所成的两个角之和不可能超过90°；
（2）若∠BAC=90°，二面角C′-AD-H为60°，求∠BAD的正切值．
???

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选择题： CABDA   BBADA   BB

4、原式

由条件可求得：    原式   故选D

5、由题得，则是公比为的等比数列，则，故选答案

6、由已知可得，直线的方程，

直线过两个整点，（），即，故应选B

7、令，则，其值域为．由

对数函数的单调性可知：，且的最小值而，

故选答案。

8、共有个四位数，其中个位数字是1，且恰好有两个相同数字的四位数分为两类：一类：“1”重复，有个；另一类；其他三个数字之一重复，有种。所以答案为：A

9、由题意可知满足的的轨迹是双曲线的右支，根据“单曲线型直线”的定义可知，就是求哪条直线与双曲线的右支有交点，故选D

10、选。可以证明D点和AB的中点E到P点和C点的距离相等，所以排除B和C选项。满足的点在PC的中垂面上，PC的中垂面与ABCD的交线是直线，从而选A。

11、解：以的平分线所在直线为轴，建立坐标系，设，则则、、，

所以

，故当且仅当，即为正三角形时，  故选B

12、则，

，

故则的最小值为，故选答案。

二、填空题

13、。

14、利用正弦定理可将已知等式变为即，

，  

当时，有最大值

15、。

16、。画图分析得球在二面角内的那一部分的体积是球的体积的，所以。

三、解答题：

17、解：

（1）由得或

在上是增函数，

可额可得

18、（1）如图建立空间直角坐标系，则

设

分别为的重心，，

，即

（2）（i）平面，

，平面的法向量为，

平面的法向量为

故，即二面角的大小为

（ii）设平面的法向量，

，由解得

又，点到平面的距离为

18、解：（I）抽取的球的标号可能为1，2，3，4

则分别为0，1，2，3：分别为

因此的所有取值为0，1，2，3，4，5

当时，可取最大值5，此时

（Ⅱ）当时，的所有取值为（1，2），此时；

当时，的所有取值为（1，1），（1，3），（2，2），此时

当时，的所有取值为（1，4），（2，1），（2，3），（3，2）此时

当时，的所有取值为（2，4），（3，1），（3，3），(4，2)此时

当时，的所有取值为（3，4），（4，1），（4，3），此时

故的分布列为：

0

1

2

3

4

5

。

20解：（1）

   故。

（Ⅱ）由（I）知

令则。当时，；

当时，

（Ⅲ），

①-②得

令则

。

则。

而  。

21、（I）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为

如图，设其中，

且满足方程故①

由知得

由在上知得。

所以，化简得，

解得或。

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点，到的距离分别为

，

又，所以四边形的面积为

，

当即当时，上式取等号，所以的最大值为2。

解法二：由题设，，

设由①得，

故四边形的面积为+=

当时，上式取等号，所以的最大值为

22、解：（I）由题设可得

函数在上是增函数，

当时，不等式即恒成立。

当时，的最大值为1，则实数的取值范围是；

（Ⅱ）当时，

当时，，于是 在上单调递减；

当时，，于是在上单调递增。

又

综上所述，当时，函数在上的最小值为，当时，

函数在上的最大值为

（Ⅲ）当时，由（Ⅰ）知在上是增函数

对于任意的正整数，有，则

即，。

。

而则成立，