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    12．在平面直角坐标系xOy中.设二次函数f(x)＝x2+2x+b(x∈R)的图象与两个坐标轴有三个交点.经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围, (2)求圆C的方程, (3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论． 解:(1)显然b≠0.否则.二次函数f(x)＝x2+2x+b的图象与两个坐标轴只有两个交点.这与题设不符．由b≠0知.二次函数f(x)＝x2+2x+b的图象与y轴有一个非原点的交点(0.b).故它与x轴必有两个交点.从而方程x2+2x+b＝0有两个不相等的实数根.因此方程的判别式4-4b>0.即b<1. 所以b的取值范围是． (2)由方程x2+2x+b＝0.得x＝-1±. 于是.二次函数f(x)＝x2+2x+b的图象与坐标轴的交点是.(0.b)．设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0. 因圆C过上述三点.将它们的坐标分别代入圆C的方程.得 解上述方程组.因b≠0. 得所以.圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b＝0. (3)圆C过定点．证明如下: 假设圆C过定点(x0.y0)(x0.y0不依赖于b).将该点的坐标代入圆C的方程.并变形为x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)＝0.式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立.必须有1-y0＝0.结合(*)式得x02+y02+2x0-y0＝0. 解得或经检验知.点均在圆C上. 因此.圆C过定点． 【查看更多】

     

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