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（本题满分12分）
已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
【小题1】（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
【小题2】（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

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（本题满分12分）
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.

【小题1】(1)填空：菱形ABCD的边长是  ▲  、面积是 ▲ 、 高BE的长是 ▲  ；
【小题2】(2)探究下列问题：
若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时
② △APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
【小题3】（3）在运动过程中是否存在某一时刻使得△APQ为等腰三角形，若存在求出t的值；若不存在说明理由.

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一、选择题  BDACA  BCBCD

二、填空题

11．4      12. 2      13. 答案不唯一(如:y=x+1,y=x-3…等等.)     14. 107

15.      16. 35     17. 10      18. 18

三、解答题

19．由（1）与（2）组成的代数的和（选择其他组合可参照本题标准给分）.

+                                …………………………（1分）

                                …………………………（4分）

                                     …………………………（6分）

                                …………………………（8分）

                                      …………………………（10分）

注: 代数式（1）与（3）的和为；代数式（2）与（3）的和为.

20．（1）画图正确.                           ………………………………（3分）

（2）316, 165, 38.6(或38.4), 139, 13.6(或13.4)    …………………（8分）

21．设该公司招聘软件推销人员为x人，软件设计人员为y人，      ………（1分）

依题意，得                ……………………（6分）

        解这个方程组，得                     …………………………（9分）

        答：该公司招聘软件推销人员为50人，软件设计人员为70人.    ……（10分）

       （注：其他解法参照上述标准给分.）

22．所画的两个图案中,有一个图案只是轴对称(或只是中心对称)的给4分,另一个图案既是轴对称图形又是中心对称图形的给6分.答案不唯一,以下设计图案仅供参考.

23.（1）∵ 四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥DC，

∴ 四边形AMNB和四边形MNCD都是矩形，          

△MED和△NBE都是等腰直角三角形.      

             ∴ ∠AME=∠ENF=90°，AM=BN=NE.        …………………………（3分）

∴ ∠EFN+∠FEN=90°.                  …………………………（4分）

又∵ EF⊥AE，

∴ ∠AEM+∠FEN=90°，                 …………………………（5分）

∴ ∠EFN=∠AEM ，                     …………………………（6分）

∴ △AME≌△ENF.                      …………………………（7分）

（2）四边形AFNM的面积没有发生变化.         …………………………（8分）

（?）当点E运动到BD的中点时，

四边形AFNM是矩形，S_{四边形AFNM}=.           ………………（9分）

（?）当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFNM是直角梯形. 

由（1）知，△AME≌△ENF.

同理，图12.2中，△AME≌△ENF.

∴ ME=FN，AM=EN.  

∴ AM+FN=MN=DC=1.                    …………………………（11分）

这时 S_{四边形AFNM}=(AM+FN)?DC=?1?1=. 

综合（?）、（?）可知四边形AFNM的面积是一个定值. …………（12分）

24．（1）∵ 抛物线经过O(0,0)，A(4,0),B(3,)，

∴  .解得  .    ………（2分）

∴ 所求抛物线的函数关系式为.    ………………（3分）

(注：用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)

（2）① 过点B作BE⊥轴于E，则BE=，AE=1，AB=2. 

由tan∠BAE=，得∠BAE =60°.              …………（4分）

      （?）当点Q在线段AB上运动，即0＜≤2时，QA=t，PA=4-.

过点Q作QF⊥轴于F，则QF=，

            ∴ S=PA?QF

.   ……（6分）

      （?）当点Q在线段BC上运动，即2≤＜4时，Q点的纵坐标为，PA=4-.

这时，S=.     ……………………（8分）

②（?）当0＜≤2时，.

           ∵ ，∴ 当=2时，S有最大值，最大值S=. ……（9分）

（?）当2≤＜4时，

           ∵ ， ∴ S随着的增大而减小.

∴ 当=2时，S有最大值，最大值.

          综合（?）（?），当=2时，S有最大值，最大值为. ……（10分）

△PQA是等边三角形.                …………………………（11分）

③ 存在.                                 …………………………（12分）

当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得∠PQA =90°，这时PA=2QA，即4-=2，∴ .

∴ P、Q两点的坐标分别为P₁(,0)，Q₁(,).        ……（13分）

当点Q在线段BC上运动时，Q、P两点的横坐标分别为5-和，要使得△PQA是直角三角形，则必须5-=，∴

∴ P、Q两点的坐标分别为P₂(,0)，Q₂(,).  ………………（14分）

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)