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某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．
（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；
（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x-y|≥10，则称此二
人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人的概率P₁；
（Ⅲ）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出的3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ分布列及期望．

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第I卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

总分

答案

D

B

C

C

C

D

B

D

B

D

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题:本大题共7个小题，每小题4分，共28分，将答案填写在题中的横线上.

    11．  0                          12．                    

    13．     -1                       14．            

15.                16.                 17.___ ④____

三、解答题:本大题共5个小题，第18-21题每小题14分，第22题16分,共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18、数列满足:

(Ⅰ)记,求证:是等比数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;

解：(Ⅰ)

，是等比数列;

(Ⅱ)

19、如图,平面四边形ABCD中, AB=13, AC=10, AD=5,,=120,

(Ⅰ) 求;  (Ⅱ) 设求实数x、y的值.

解：(Ⅰ)设

(Ⅱ)

（其他方法解对同样给分）

20、如图，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的各棱长都相等，D、E分别是CC₁和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3 

(Ⅰ)若M为AB中点，求证  BB₁∥平面EFM；

(Ⅱ)求证  EF⊥BC；

(Ⅲ)求二面角A₁―B₁D―C₁的大小 

(1)    证明 连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB

（和AB₁的中点，

∴BB₁∥ME，又BB₁平面EFM，∴BB₁∥平面EFM 

(2)证明  取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得  AN⊥BC，

又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，

∴MF⊥BC，而BC⊥BB₁，BB₁∥ME 

∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，

又EF平面EFM，∴BC⊥EF 

(3)解  取B₁C₁的中点O，连结A₁O知，A₁O⊥面BCC₁B₁，由点O作B₁D的垂线OQ，垂足为Q，连结A₁Q，由三垂线定理，A₁Q⊥B₁D，故∠A₁QD为二面角A₁―B₁D―C的平面角，易得∠A₁QO=arctan 

（建立坐标系解对同样给分）

21、已知点D在定线段MN上，且|MN|＝3，|DN|＝1，一个动圆C过点D且与MN相切，分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P．

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B，

若=λ，且λ∈[2－，2＋]，记直线l

与直线MN夹角为θ，求的取值范围．

解：（Ⅰ）以直线MN为x轴，MN的中点为坐标原点O，

建立直角坐标系xOy．　

∵PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝1

或PM－PN＝(PE＋EM)－(PF＋FN)＝MD－ND＝－1

∴点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为1的双曲线（不包含顶点），

其轨迹方程为（y≠0）　

（Ⅱ）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则＝(x₁＋2，y₁)，＝(x₂＋2，y₂)

设AB：my＝x＋，代入得，3(my－)²－y²－2＝0，

即(8m²－1)y²－24my＋16＝0．

∴　＝λ，y₁＝-λy₂，∴　

得，，

∴∈[-2，0]，即

∴　，故

22、已知函数是定义在上的奇函数，当时，有

（其中为自然对数的底，）．

（Ⅰ）若,求函数的解析式；

（Ⅱ）试问：是否存在实数，使得当，的最小值是？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由．

（Ⅲ）设（），求证：当时，；

解：（Ⅰ）当时，，故有，由此及是奇函数得，因此，函数的解析式为；

（Ⅱ）当时，：

①若，则在区间上是减函数，故此时函数在区间上没有最小值；

②若，则令，且在区间上是减函数，而在区间上是增函数，故当时，．

令．

综上所述，当时，函数在区间上的最小值是3．

（Ⅲ）证明：令。当时，注意到，故有

．

       ①当时，注意到，故

；

       ②当时，有，故函数在区间上是增函数，从而有

。

       因此，当时，有。

       又因为是偶函数，故当时，同样有，即．

       综上所述，当时，有；