选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB、AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．

B．选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R若矩阵M=

.

-1 a b 3

.

所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．

C．选修4-4：坐标系与参数方程
将参数方程

x=2(t+ 1 t ) y=4(t- 1 t )

（t为参数）化为普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b是正数，求证：（a+

1

b

）（2b+

1

2a

）≥

9

2

．

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[选做题]
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD．

20090602

B．选修4—2：矩阵与变换
二阶矩阵对应的变换将点与分别变换成点与．求矩阵；
C．选修4—4：坐标系与参数方程
若两条曲线的极坐标方程分别为??=l与??=2cos(θ+)，它们相交于A，B两点，求线
段AB的长．
D．选修4—5：不等式选讲
求函数的最大值．

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[选做题]
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD．

20090602

B．选修4—2：矩阵与变换
二阶矩阵对应的变换将点与分别变换成点与．求矩阵；
C．选修4—4：坐标系与参数方程
若两条曲线的极坐标方程分别为??=l与??=2cos(θ+)，它们相交于A，B两点，求线
段AB的长．
D．选修4—5：不等式选讲
求函数的最大值．

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一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

_A

B

D

B

D

B

B

C

二、填空题：本小题9―12题必答，13、14、15小题中选答2题，若全答只计前两题得分，共30分.

9．, f(x)＜m；  10．90 ； 11．3 ；12． _；

13．垂直； 14． ； 15． _。

解答提示：

2．解：设等轴双曲线为x²－y²=a²（a>0），

∵焦点到渐近线距离为，∴a=。

3．解：∵_，    ∴

∴_，∴_，∴．

4．解：只有命题②正确。

5．解：有２男２女和三男一女两种情况，

＝2400种．

6．解：，∴r=3，9时，该项为有理项

，∴ 。

7．解：由正弦定理得，

由余弦定理有。

8．解： 可行域:的面积为4，圆x²+y²=1的面积为,

    由几何概型计算公式得：P=。

10．平均每月注射了疫苗的鸡的数量为万只。

11．解：，=3。

12．解：∵_，

      ∴_，

      又_，

      ∴，夹角等于。

13．解：垂直。两直线分别过点和，前两点和后两点连线显然垂直。

法二：两直线化为普通方程是

其斜率乘积，故两直线垂直。

14．解：,应有

15．解：由圆的相交弦定理知，

∴，

由圆的切割线定理知，

∴。

三、解答题：

16．解：（1） ，        ……………3分

f(x)  。                 　　　　………6分

（2）由（1）知 ，   　　　 …… 9分

的图像向右平移个单位，得到的图像，

其图像关于原点对称，                           　　　…………… 11分

故m=  。                                        　……………12分

17．解：（1），

    又，  ………………………………………………2分

    又的等比中项为2，，

    而，  ………………………………4分

      ， ……………………………6分

   （2），    ，

   为首项，－1为公差的等差数列。 ………………………9分

    ，

    ；当；当，

    最大。 …………………………12分

18．解：（1）这位挑战者有两种情况能过关：

①第三个对，前两个一对一错，得20+10+0=30分，       ……… ………1分

②三个题目均答对，得10+10+20=40分，                ……… ………2分

其概率分别为，            ……… ………3分

            ，                ……… ………4分

这位挑战者过关的概率为

。        ……… ………5分

(2)如果三个题目均答错，得0+0+（-10）=-10分，

如果前两个中一对一错，第三个错，得10+0+（-10）=0分；  …… ………6分

 前两个错，第三个对，得0+0+20=20分；

如果前两个对，第三个错，得10+10+（-10）=10分；      ……… ………7分

故的可能取值为：-10，0，10，20，30，40.                 ………….8分

 ，    ……… ………9分

                            ………………10分

                             ……… ………11分

                             ……… ………12分

又由（1），，

∴的概率分布为

-10

0

10

20

30

40

                                                    ………………13分

根据的概率分布，可得的期望，

                                                         ………14分

19．解：（1），∴,     ∴2a²=3b²      ……….2分

      ∵直线l:与圆x²+y²=b²相切，

∴=b，∴b=，b²=2，                                                             …….3分  

∴a²=3.  ∴椭圆C₁的方程是          ………….  4分

（2）∵|MP|＝|MF₂|，

∴动点M到定直线l₁：x＝－1的距离等于它的定点F₂（1，0）的距离. …5分

∴动点M的轨迹是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，                                                 ………….6分

∴ ，p=2 ，                                    ………….7分

 ∴点M的轨迹C₂的方程为_。                  .………….8分           

（3）由（1）知A（1，2），，y₂≠2，①

       则，              ………….10分

    又因为      , ，

       整理得，       　　　　　　   ………….12分

则此方程有解，

       ∴解得或，      ………….13分

       又检验条件①：∵y₂=2时y₀=-6,不符合题意。

       ∴点C的纵坐标y₀的取值范围是       ………….14分

20．解法一：（向量法）：

过点作

∵⊥平面

∴⊥平面

又在中，

∴

如图，以为原点，建立空间直角坐标系．       ………….1分

又在中，，

∴

又在中，

∴

则                        ………….3分

（1）证明：∵

         ∴

         ∴

         ∴

 又

∴⊥平面                               ………….6分

又在中，、分别是、上的动点，

且

∴不论为何值，都有

∴⊥平面

又平面

不论为何值，总有平面⊥平面           ………….8分

（2）∵，∴,

∵，∴，

又∵， ，     

设是平面的法向量，则         .………….10分

又，,∵=(0,1,0),

∴

令得

∴，                            ………….12分

    ∵ 是平面的法向量，平面与平面所成的二面角为_，

∴

∴_，

∴或（不合题意，舍去），

         故当平面与平面所成的二面角的大小为时．…….14分

（2）解法二：∵，∴ ,

设E（a,b,c）,则，

∴a=1+,b=0,c=， E（1+,0, ）,

∴)。                       

其余同解法一

（2）解法三：设是平面的法向量，则，

        ∵ 

        ∴

        ∴

又在中，，

∴

又在中，

∴

∴

    又，且

∴

∴

∴

又

∴

∴        _{……………10分}

∴

令得

∴                               …………12分

其余同解法一

解法四：（传统法）：

（1）证明：∵⊥平面

∴                                    ………….1分

又在中，

∴                                    ………….2分

又

∴⊥平面                               ………….3分

又在中，、分别是、上的动点，

且

∴                                      ………….4分

∴⊥平面                                ………….5分

又平面

∴不论为何值，总有平面⊥平面．        ………….6分

（2）解：作BQ∥CD，则BQ⊥平面，

∴BQ⊥BC，BQ⊥BE，

又BQ与CD、EF共面，∴平面与∩平面_＝BQ，

∴∠CBE平面与平面所成的二面角的平面角，为，∴

∴①      ………….9分

   又

   ∴