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    已知二次函数. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．
    （1）求g（x）的表达式；
    （2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+
    1
    2
    ）+mlnx-（m+1）x+
    9
    8
    ，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
    （3）在（2）的条件下，证明：对任意x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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    已知二次函数f（x）=x2+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3）．
    （1）求b的值；
    （2）当x＞1时，求f（x）的反函数f-1（x）；
    （3）对于（2）中的f-1（x），如果f-1(x)＞m(m-
    		x
    )    在[
    1
    4
    ，
    1
    2
    ]    上恒成立，求实数m的取值范围．

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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的最小值为0，且满足条件①f（x-4）=f（2-x），②对任意的x∈R有f（x）≥x，当x∈（0，2）时，f(x)≤(
    x+1
    2
    )2    ，那么f（a）+f（c）-f（b）的值为（　　）
    A、0
    B、
    7
    32
    C、
    9
    16
    D、1

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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则
    f(1)
    f′(0)
    的最小值为（　　）
    A、3
    B、
    5
    2
    C、2
    D、
    3
    2

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    已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
    （1）求证：b+c=-1；
    （2）求证：c≥3；
    （3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

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    一、选择题

    1．B    2．C    3．C    4．C    5．B    6．A

    7．A    8．D    9．B    10.D   

    二、填空题

    11．86；1.6；12.1/6   13.（ 4，8）   14.108   15.(1),（2）,(3)

    三、解答题

    16．解：（1）由已知得 解得．设数列的公比为，

    由，可得．又，可知，

    即，

    解得． 由题意得．  ．

    故数列的通项为．……………………………6分

       （2）由于   由（1）得 

       

    =  ……………..13分

    17．(1)∵=a， AB=2a，BC=a，

    E为的中点。

    ∴，

    DE⊥CE……（2分）

    又∵∴DE⊥EB  ，而                      

    ∴DE⊥平面BCE…（6分）

    (2) 取DC的中点F，则EF⊥平面BCD,作FH⊥BD于H，连EH，则∠EHF就是二面角E-BD-C的一个平面角。……………………（8分）

    由题意得  EF=a，在Rt△ 中，…………（10分）

    ∴∠EHF＝.……………………………………………（13分）

    18．解：由已知，得，

    （1）若，。若A是直角，则k=-2；若B是直角，则

    k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，则2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率为

    （2）若，且k≠.区间长度L=6.若B是钝角，则-k(2-k)-3<0, -1<k<3,L′=4. △ABC中B是钝角的概率

    k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，则2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率为.

    求△ABC是直角三角形的概率.

    19．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，

    长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

    故曲线C的方程为．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    （Ⅱ）设，其坐标满足

    消去y并整理得，

    故．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    ，即．而，

    于是．

    所以时，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分

    当时，，．

    ，

    而，

    所以．   13分

    20．解：（1） 

    当时，

    函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。…….3分

       （2）假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，∴即  

    由②知对,都有

    令得又因为恒成立， 

    ，即，即

    由得，

    当时，，其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,都有，满足条件②。

    ∴存在，使同时满足条件①、②。…..8分

       （3）令，则

    ，

    在内必有一个实根。即，使成立。….13分

    21．（1）1;    (2)

     

    （2）（1）设M=，则有=，=，

    所以且   解得，所以M=．…………………………5分

    （2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)．

    因为，所以又m：，

    所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………7分

    ．

    不等式证明选讲）若，证明 。

    柯西不等式一步可得

     

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