如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）已知△的面积为40，求的值.

【解析】 （Ⅰ）由题=60°，则，即椭圆的离心率为。

（Ⅱ）因△的面积为40，设，又面积公式，又直线，

又由（Ⅰ）知，联立方程可得，整理得，解得，，所以，解得。

 

已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件

(1)焦点F₁的坐标为（3,0）;

(2)长半轴长为5.

则可求得此椭圆方程为=1(※)

问可用其他什么条件代替条件（2），使所求得的椭圆方程仍为（※）?请写出两种替代条件，并说明理由.

已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件：

（1）焦点F₁的坐标为（3，0）；

（2）长半轴长为5.

则可求得此椭圆方程为(※)，问可用其他什么条件代替条件（2），使所求得的椭圆方程仍为（※）？请写出两种替代条件，并说明理由.

现有变换公式T：可把平面直角坐标系上的一点P（x，y）变换到这一平面上的一点P′（x′，y′）．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程，并求出其两个焦点F₁、F₂经变换公式T变换后得到的点F₁^′和F₂^′的坐标；
（2）若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换T下的不动点的存在情况和个数．