如图，已知圆O：x²+y²=1，O为坐标原点．
（1）边长为

2

的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．
①求轨迹E的方程；
②过轨迹E上一定点P（x₀，y₀）作相互垂直的两条直线l₁，l₂，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设l₁被圆O截得的弦长为a，设l₂被轨迹E截得的弦长为b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．

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如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a²上的射影依次为点D，K，E，
（1）已知抛物线x2=4

3

y的焦点为椭圆C的上顶点．
①求椭圆C的方程；
②若直线L交y轴于点M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，当m变化时，求λ₁+λ₂的值；
（2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由．

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如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为4（

2

+1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

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如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（-

2

，0)，C(

2

，0)，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L
（1）求L的方程；
（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使

QM • QC

| QM |

=

QN • QC

| QN |

对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．

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一、选择题（每小题5分，共60分）

   BDACC   ACDDB  AA

二、填空题（每小题4分，共16分）

  （13） ；   （14）；   （15）；   （16）②③。

三、解答题（共74分）

（17）解：（I）由于弦定理，

有

代入得。

                                           …………………………………4分

即。

      ……………………………………6分

                              ……………………………………7分

                   …………………………………8分

（Ⅱ），                     ………………………………10分

 由，得。             ………………………………11分

所以，当时，取得最小值为0，   ………………………………12分

（18）解：（I）由已知得

              故

              即

              故数列为等比数列，且

              又当时，

                                   ………………………………6分

              而亦适合上式

                                …………………………………8分

         （Ⅱ）

               所以

                                      ………………………………12分

（19）解：（I）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥的底面的边长为1的正方形，侧棱，

                                                   ……………………………4分

        （Ⅱ）连结交于，则为的中点，

             为的中点，

             ，

             又平面内，

             平面                   ………………8分

        （Ⅲ）不论点在何位置，都有   ………………9分

             证明：连结，是正方形，

                   又，

                           …………12分

（20分）解：

(I）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果（如下图所示）。

            由上图可以看出，实验的所有可能结果数为20．因为每次都随机抽取，因次

这20种结果出现的可能性是相同的，实验属于古典概型。 ……………2分用

表示事“连续抽取2人都是女生”，则与互斥，并且表示事

件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可

以看出，的结果有12种，的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，

可得

，

即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7……………6分

      （Ⅱ）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用（2，4）来表示，所有的可能结果可以用下表列出。

   第二次抽取

第一次抽取

1

2

3

4

5

1

（1，1）

（1，2）

（1，3）

（1，4）

（1，5）

2

（2，1）

（2，2）

（2，3）

（2，4）

（2，5）

3

（3，1）

（3，2）

（3，3）

（3，4）

（3，5）

4

（4，1）

（4，2）

（4，3）

（4，4）

（4，5）

5

（5，1）

（5，2）

（5，3）

（5，4）

（5，5）

           试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典型。                                …………………………8分

           用表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，的结果共

有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率

                      ……………………………12分

（21）解：

（I）

          依题意有                           ………………………2分

          即  解得          …………………………4分

          由，得                   

           的单调递减区间是            ………………………6分

     （Ⅱ）由  得   ………………………8分

           不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：

           由   得        ………………………8分

            不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：

           由   得

            点的坐标为（0，-1）．   ………………10分

           设则表示平面区域内的点（）与点

            连线斜率。

            由图可知或，

            即……………12分

（22）解：

（I）设椭圆方程为

     则根据题意，双曲线的方程为

     且满足

           解方程组得    ……………………4分

     椭圆的方程为，双曲线的方程 ………………6分

（Ⅱ）由（I）得

      设则由得为的中点，所以点坐标为

，

将坐标代入椭圆和双曲线方程，得

消去，得

解之得或（舍）

所以，由此可得

所以                        …………………………10分

当为时，直线的方程是

即

代入，得

所以或-5（舍）                ……………………………12分

所以

轴。

所以   ……………………14分