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    (Ⅱ)设椭圆的左.右顶点分别为.在第二象限内取双曲线 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.

    （Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；

    （Ⅱ）若，证明直线的斜率 满足

    【解析】(1)解：设点P的坐标为.由题意，有  ①

    由，得，

    由，可得，代入①并整理得

    由于，故.于是，所以椭圆的离心率

    （2）证明：（方法一）

    依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

    由条件得消去并整理得  ②

    由，及，

    得.

    整理得.而，于是，代入②，

    整理得

    由，故，因此.

    所以.

    (方法二)

    依题意，直线OP的方程为，设点P的坐标为.

    由P在椭圆上，有

    因为，，所以，即   ③

    由，，得整理得.

    于是，代入③，

    整理得

    解得，

    所以.

     

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    设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.
    （Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
    （Ⅱ）若，证明直线的斜率 满足

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    设椭圆的左、右顶点分别为、，离心率．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）求动点C的轨迹E的方程；

    （3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且 ，求直线MN的方程.

     

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    设椭圆的左、右顶点分别为、，点在椭圆上且异于、两点，为坐标原点.

    （1）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；

    （2）对于由(1)得到的椭圆，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率.

     

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    设椭圆的左、右顶点分别为、，离心率．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且.
    （1）求椭圆的方程；
    （2）求动点C的轨迹E的方程；
    （3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且，求直线MN的方程.

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    一、选择题（每小题5分，共60分）

       BDACC   ACDDB  AA

    二、填空题（每小题4分，共16分）

      （13） ；   （14）；   （15）；   （16）②③。

    三、解答题（共74分）

    （17）解：（I）由于弦定理，

    有

    代入得。

                                               …………………………………4分

    即。

          ……………………………………6分

                                  ……………………………………7分

                       …………………………………8分

    （Ⅱ），                     ………………………………10分

     由，得。             ………………………………11分

    所以，当时，取得最小值为0，   ………………………………12分

    （18）解：（I）由已知得

                  故

                  即

                  故数列为等比数列，且

                  又当时，

                                       ………………………………6分

                  而亦适合上式

                                    …………………………………8分

             （Ⅱ）

                   所以

                         

                                          ………………………………12分

    （19）解：（I）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥的底面的边长为1的正方形，侧棱，

                                                       ……………………………4分

            （Ⅱ）连结交于，则为的中点，

                 为的中点，

                 ，

                 又平面内，

                 平面                   ………………8分

            （Ⅲ）不论点在何位置，都有   ………………9分

                 证明：连结，是正方形，

                      

                      

                       又，

                      

                               …………12分

    （20分）解：

    (I）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果（如下图所示）。

                由上图可以看出，实验的所有可能结果数为20．因为每次都随机抽取，因次

    这20种结果出现的可能性是相同的，实验属于古典概型。 ……………2分用

    表示事“连续抽取2人都是女生”，则与互斥，并且表示事

    件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可

    以看出，的结果有12种，的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，

    可得

    ，

    即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7……………6分

          （Ⅱ）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用（2，4）来表示，所有的可能结果可以用下表列出。

       

       第二次抽取

     

    第一次抽取

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    （1，1）

    （1，2）

    （1，3）

    （1，4）

    （1，5）

    2

    （2，1）

    （2，2）

    （2，3）

    （2，4）

    （2，5）

    3

    （3，1）

    （3，2）

    （3，3）

    （3，4）

    （3，5）

    4

    （4，1）

    （4，2）

    （4，3）

    （4，4）

    （4，5）

    5

    （5，1）

    （5，2）

    （5，3）

    （5，4）

    （5，5）

           

               试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典型。                                …………………………8分

               用表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，的结果共

    有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率

                          ……………………………12分

    （21）解：

    （I）

              依题意有                           ………………………2分

              即  解得          …………………………4分

             

              由，得                   

               的单调递减区间是            ………………………6分

         （Ⅱ）由  得   ………………………8分

               不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：

               由   得        ………………………8分

                不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：

               由   得

                点的坐标为（0，-1）．   ………………10分

               设则表示平面区域内的点（）与点

                连线斜率。

                由图可知或，

                即……………12分

    （22）解：

    （I）设椭圆方程为

         则根据题意，双曲线的方程为

         且满足

               解方程组得    ……………………4分

         椭圆的方程为，双曲线的方程 ………………6分

    （Ⅱ）由（I）得

          设则由得为的中点，所以点坐标为

    ，

    将坐标代入椭圆和双曲线方程，得

    消去，得

    解之得或（舍）

    所以，由此可得

    所以                        …………………………10分

    当为时，直线的方程是

    即

    代入，得

    所以或-5（舍）                ……………………………12分

    所以

    轴。

    所以   ……………………14分

     

     


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