(理)设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β,且α＜β.定义函数f(x)=.

(1)求αf(α)+βf(β)的值;

(2)判断f(x)在区间(α,β)上的单调性,并加以证明;

(3)若λ、μ为正实数,证明不等式:|f()-f()|＜|α-β|.

(文)如图,在平面直角坐标系中,已知动点P(x,y),PM⊥y轴,垂足为M,点N与点P关于x轴对称,且=4.

(1)求动点P的轨迹W的方程;

(2)若点Q的坐标为(2,0),A、B为W上的两个动点,且满足QA⊥QB,点Q到直线AB的距离为d,求d的最大值.

(理)设x₁、x₂(x₁≠x₂)是函数f(x)=ax³+bx²-a²x(a＞0)的两个极值点.

(1)若x₁=-1,x₂=2,求函数f(x)的解析式;

(2)若|x₁|+|x₂|=,求b的最大值;

(3)若x₁＜x＜x₂,且x₂=a,函数g(x)=f′(x)-a(x-x₁),求证:|g(x)|≤a(3a+2)².

(文)如图,N为圆x²+(y-2)²=4上的点,OM为直径,连结MN并延长交x轴于点C,过C引直线垂直于x轴,且与弦ON的延长线交于点D.

(1)已知点N(,1),求点D的坐标;

(2)若点N沿着圆周运动,求点D的轨迹E的方程;

(3)设P(0,a)(a＞0),Q是点P关于原点的对称点,直线l过点P交曲线E于A、B两点,点H在射线QB上,且AH⊥PQ,求证:不论l绕点P怎样转动,恒有.