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    7．如图在四棱锥P-ABCD中. 底面ABCD是矩形.PA⊥平面ABCD.PA＝AD＝4. AB＝2.以AC的中点O为球心.AC为直径的球面交 PD于点M.交PC于点N. (1)求证:平面ABM⊥平面PCD, (2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值, 解:法一:(1)证明:依题设知.AC是所作球面的直径. 则AM⊥MC. 又因为PA⊥平面ABCD.CD⊂平面ABCD. ∴PA⊥CD. 又CD⊥AD.AD∩PA＝A.所以CD⊥平面PAD. ∵AM⊂平面PAD.∴CD⊥AM. 又CD∩CM＝C.所以AM⊥平面PCD. ∵AM⊂平面ABM. 所以平面ABM⊥平面PCD. 知.AM⊥PD.又PA＝AD.则M是PD的中点.可得AM＝2且M到平面ABCD的距离为2. MC＝＝2. 则S△ACM＝AM·MC＝2.S△ACD＝4. 设D到平面ACM的距离为h. 由VD-ACM＝VM-ACD.即2h＝8. 可求得h＝. 设所求角为θ.则sinθ＝＝. 即直线CD与平面ACM所成角的正弦值为. 法二:(1)同法一, (2)如图所示.建立空间直角坐标系. 则A.P.B.C.D.∴＝.＝． 由(1)知.AM⊥PD.又PA＝AD.则M是PD的中点.故M.所以＝． 设平面ACM的一个法向量n＝(x.y.z). 由n⊥.n⊥.可得令z＝1. 则n＝． 设所求角为α. 则sinα＝＝. 所求角的正弦值为. 【查看更多】

     

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