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    [例1]已知函数对一切.都有.求证: (1)是奇函数,(2)若f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)恒等于0. 解:(1)在中. 令.得. 令.得.∴. ∴.即. ∴是奇函数 是奇函数,则f(-x)=-f(x).且f(0)=0 图象关于直线x=1对称,即点(x,y),(2-x,y)同在曲线上,有f(2-x)=f(x). 且f=0 又已知f ∴f(x)= f(2-x)=f2f≡0. 方法提炼:1．赋值法．赋值的目的要明确.本题就是要凑出f的关系,2．领会函数式变换的依据.目的和策略的灵活性. [例2]已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数.对定义域内的任意x1,x2都有.且当时. (1)求证:f(x)是偶函数, (2)f(x)在上是增函数, (3)解不等式 解:(1)令.得.∴. 令.得. ∴. ∴是偶函数 (2)设.则 ∵.∴.∴. 即.∴ ∴在上是增函数 (3).∴. ∵是偶函数 ∴不等式可化为. 又∵函数在上是增函数. ∴0≠.解得:. 即不等式的解集为 [例3] 定义在R上的函数y=f(x).f(0)≠0.当x＞0时.f(x)＞1.且对任意的a.b∈R.有f(a+b)=f(a)·f(b). (1)求证:f(0)=1, (2)求证:对任意的x∈R.恒有f(x)＞0, (3)求证:f(x)是R上的增函数, (4)若f(x)·f(2x-x2)＞1.求x的取值范围. (1)证明:令a=b=0.则f(0)=f 2(0). 又f(0)≠0.∴f(0)=1. (2)证明:当x＜0时.-x＞0. ∴f(0)=f(x)·f(-x)=1. ∴f(-x)=＞0.又x≥0时f(x)≥1＞0. ∴x∈R时.恒有f(x)＞0. (3)证明:设x1＜x2.则x2-x1＞0. ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1). ∵x2-x1＞0.∴f(x2-x1)＞1. 又f(x1)＞0.∴f(x2-x1)·f(x1)＞f(x1). ∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是R上的增函数. (4)解:由f(x)·f(2x-x2)＞1.f(0)=1得f(3x-x2)＞f(0).又f(x)是R上的增函数. ∴3x-x2＞0.∴0＜x＜3. 关键点注:解本题的关键是灵活应用题目条件.尤其是(3)中“f(x2)=f［(x2-x1)+x1］ 是证明单调性的关键.这里体现了向条件化归的策略. [例4]已知f(x)是定义在R上的函数.且f(x+2)(1-f(x))=1+f(x). (1)求证:f(x)是周期函数, (2)若.试求f,f的值. 解: 解题要点 用活条件, [研究.欣赏] 函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立.且f求的值, (2)对任意的..都有f(x1)+2<logax2成立时.求a的取值范围． 解:(1)由已知等式. 令.得. 又∵.∴． (2)由. 令得. 由(1)知.∴．∵. ∴在上单调递增. ∴． 要使任意.都有成立.必有都成立. 当时.,显然不成立． 当时..解得 ∴的取值范围是． 方法提炼 怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问题. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    19、已知函数f（x）对一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
    （1）求f（0）；
    （2）求证：f（x）是奇函数；
    （3）若F（x）=af（x）+bx5+cx3+2x2+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）

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    已知函数f（x）对一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
    （1）求f（0）；
    （2）求证：f（x）是奇函数；
    （3）若F（x）=af（x）+bx5+cx3+2x2+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）

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    已知函数f（x）对一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
    （1）求f（0）；
    （2）求证：f（x）是奇函数；
    （3）若F（x）=af（x）+bx5+cx3+2x2+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）

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    已知函数f（x）对一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
    （1）求f（0）；
    （2）求证：f（x）是奇函数；
    （3）若F（x）=af（x）+bx5+cx3+2x2+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）

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    已知函数f(x)对于一切x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

    (1)求证：f(x)是奇函数；

    (2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．

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