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    已知{an}是等比数列.a1=2.a3=18,{bn}是等差数列.b1=2.b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20. (1)求数列{bn}的通项公式, (2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式, (3)设Pn=b1+b4+b7+-+b3n-2.Qn=b10+b12+b14+-+b2n+8. 其中n=1.2.-.试比较Pn与Qn的大小.并证明你的结论. 剖析:将已知转化成基本量.求出首项和公比后.再进行其他运算. 解:(1)设{an}的公比为q.由a3=a1q2得q2==9.q=±3. 当q=-3时.a1+a2+a3=2-6+18=14＜20. 这与a1+a2+a3＞20矛盾.故舍去. 当q=3时.a1+a2+a3=2+6+18=26＞20.故符合题意. 设数列{bn}的公差为d.由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26. 又b1=2.解得d=3.所以bn=3n-1. (2)Sn==n2+n. (3)b1.b4.b7.-.b3n-2组成以3d为公差的等差数列. 所以Pn=nb1+·3d=n2-n, b10.b12.b14.-.b2n+8组成以2d为公差的等差数列.b10=29. 所以Qn=nb10+·2d=3n2+26n. Pn-Qn=(n2-n)-(3n2+26n)=n(n-19). 所以.对于正整数n.当n≥20时.Pn＞Qn, 当n=19时.Pn=Qn, 当n≤18时.Pn＜Qn. 评述:本题主要考查等差数列.等比数列等基本知识.考查逻辑思维能力.分析问题和解决问题的能力. [探索题] 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5.5.5成等比数列.lgbn.lgan+1.lgbn+1成等差数列.且a1=1.b1=2.a2=3.求通项an.bn. 剖析:由等比中项.等差中项的性质得an+1=递推出an=(n≥2). 解:∵5.5.5成等比数列. ∴(5)2=5·5.即2bn=an+an+1. ① 又∵lgbn.lgan+1.lgbn+1成等差数列. ∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1.即an+12=bn·bn+1. ② 由②及ai＞0.bj＞0(i.j∈N*)可得 an+1=. ③ ∴an=(n≥2). ④ 将③④代入①可得2bn=+(n≥2). ∴2=+(n≥2). ∴数列{}为等差数列. ∵b1=2.a2=3.a22=b1·b2.∴b2=. ∴=+(n-1)(-) =(n+1)(n=1也成立). ∴bn=. ∴an== =(n≥2). 又当n=1时.a1=1也成立. ∴an=. 【查看更多】

     

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