练习册

  • 练习册
  • 试题
    [例1]如图.设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°.又∠BAC=60°.且SA⊥BC. (1)求证:S-ABC为正三棱锥, (2)已知SA=a.求S-ABC的全面积. 证明(1):正棱锥的定义中.底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心.两个条件缺一不可.作三棱锥S-ABC的高SO.O为垂足.连结AO并延长交BC于D. 因为SA⊥BC.所以AD⊥BC.又侧棱与底面所成的角都相等.从而O为△ABC的外心.OD为BC的垂直平分线.所以AB=AC.又∠BAC=60°.故△ABC为正三角形.且O为其中心.所以S-ABC为正三棱锥. 解(2):在Rt△SAO中.由于SA=a.∠SAO=600. 所以SO=a.AO=a.因O为重心. 所以AD=AO=a.BC=2BD=2ADcot600=a. OD=AD=a. 在Rt△SOD中.SD2=SO2+OD2=(a)2+(a)2=.则SD=a.于是.(SS-ABC)全=·(a)2sin60°+3··a·a=a2. ◆思悟探讨 (1)求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式 S正棱锥底=cosα·S正棱锥侧(α为侧面与底面所成的二面角). (2)注意到高SO=a.底面边长BC=a是相等的.因此这类正三棱锥还有高与底面边长相等的性质.反之亦真. (3)正三棱锥中.若侧棱与底面边长相等.则可称为正四面体.因此正四面体是特殊的正三棱锥.但正三棱锥不一定是正四面体. [例2] 三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6.其余各棱长均为5.求三棱锥的内切球半径. 解法一:易知内切球球心O到各面的距离相等. 设E.F为CD.AB的中点.则O在EF上且O为EF的中点. 在△ABE中.AB=6.AE=BE=4.OH=. 解法二:设球心O到各面的距离为R. 则4×S×R=VA-BCD. ∵S=×6×4=12.VA-BCD=2VC-ABE=6. ∴4××12R=6.∴R=. 评述:正多面体与球的切接问题常借助体积求解. [例3]．已知.三棱柱ABC-A1B1C1中.侧棱与底面成600的角.AB⊥AC.BC1⊥A1C1.AB=4.AC=3. (1).求证:截面ABC1⊥底面ABC, (2).求三棱柱ABC-A1B1C1的体积的最小值, (3).求三棱柱ABC-A1B1C1体积最小时.截面A1BC1与底面ABC所成二面角的大小. 证(1):在三棱柱ABC-A1B1C1 中, AC ∥A1C1, ∵BC1⊥A1C1, ∴BC1⊥AC,又 AB⊥AC, ∴AC⊥面ABC1, ∴面ABC1⊥面ABC. 解(2):作C1H⊥面ABC于H, 则H在AB上.连CH.则∠HCC1=600 当H与A重合时CH最短.棱柱的高C1H=CHtan600=CH最短 三棱柱ABC-A1B1C1 的体积V最小.此时. ∠ACC1=600, C1H=AC1=3 V= 解(3)设面ABC交面A1BC1于直线 m,则 m为二面角的棱. ∵AC∥A1C1 , ∴AC∥面A1BC1, AC∥m , ∴ AB⊥m, 又AC1⊥面ABC, 由三垂线定理知C1B⊥m, ∴∠ABC1为所求二面角的平面角.在RtΔABC1中. tan∠ABC1= [例4]如图.三个12×12 cm的正方形.都被连结相邻两边中点的直线分成A.B两片.把6片粘在一个正六边形的外面.然后折成多面体.求此多面体的体积. 解法一: 补成一个正方体.如图甲. V=V正方体­=×123=864 cm3. 甲 乙 解法二:补成一个三棱锥.如图乙. V=V大三棱锥-3V小三棱锥=864 cm3. 解法三:如图(3)7设C是所在棱的中点.截面CDE把几何体截成两部分.沿DE把上部分翻转过来可拼成正方体的下一半. ◆思考讨论 补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体.这是求多面体体积的常用方法. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    精英家教网如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
    （1）求证：S-ABC为正三棱锥；
    （2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．

    查看答案和解析>>

    如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
    （1）求证：S-ABC为正三棱锥；
    （2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．

    查看答案和解析>>

    如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
    （1）求证：S-ABC为正三棱锥；
    （2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．

    查看答案和解析>>

    如图，设三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分别等于α1，α2，α3．记△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面积分别为S1，S2，S3，S，则下列四个命题：（1）Si=Scosαi（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，则∠BAC=60°（3）S2=S12+S22+S32．（4）α1，α2，α3的取值可以分别是30°，45°，60°．
    其中正确命题的序号是    （填上所有正确命题的序号）

    查看答案和解析>>

    （2010•上饶二模）如图，设三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分别等于α1，α2，α3．记△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面积分别为S1，S2，S3，S，则下列四个命题：（1）Si=Scosαi（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，则∠BAC=60°（3）S2=S12+S22+S32．（4）α1，α2，α3的取值可以分别是30°，45°，60°．
    其中正确命题的序号是
    （1）（2）（3）
    （1）（2）（3）
    （填上所有正确命题的序号）

    查看答案和解析>>


    同步练习册答案