已知函数f(x)=x+

a

x

+b(x≠0)，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范围．

已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当x∈(0，2)时，f(x)=lnx+ax(a＜-

1

2

)，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数b使得不等式

x-b

f(x)+x

＞

x

对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数b的取值集合，若不存在，说明理由．

已知函数f(x)=|x-a|+

4

x

(a∈R)．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）当方程f（x）=2恰有两个实数根时，求a的值；
（3）若对于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．

已知函数f（x）=x^k+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是函数f（x）图象上的点列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x正半轴上的点列，O为坐标原点，△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…是一系列正三角形，记它们的边长是a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，探求数列a_n的通项公式，并说明理由．