题目列表(包括答案和解析)
A.1个 | B.2个 | C.3个 | D.4个 |
已知递增等差数列满足:
,且
成等比数列.
(1)求数列的通项公式
;
(2)若不等式对任意
恒成立,试猜想出实数
的最小值,并证明.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中,利用设数列公差为
,
由题意可知,即
,解得d,得到通项公式,第二问中,不等式等价于
,利用当
时,
;当
时,
;而
,所以猜想,
的最小值为
然后加以证明即可。
解:(1)设数列公差为
,由题意可知
,即
,
解得或
(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等价于,
当时,
;当
时,
;
而,所以猜想,
的最小值为
. …………8分
下证不等式对任意
恒成立.
方法一:数学归纳法.
当时,
,成立.
假设当时,不等式
成立,
当时,
,
…………10分
只要证 ,只要证
,
只要证 ,只要证
,
只要证 ,显然成立.所以,对任意
,不等式
恒成立.…14分
方法二:单调性证明.
要证
只要证 ,
设数列的通项公式
, …………10分
, …………12分
所以对,都有
,可知数列
为单调递减数列.
而,所以
恒成立,
故的最小值为
.
已知数列的前
项和为
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通项公式;
(Ⅱ) 设 (
N*).
①证明: ;
② 求证:.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式,表示通项公式,然后得到第一问,第二问中利用放缩法得到
,②由于
,
所以利用放缩法,从此得到结论。
解:(Ⅰ)当时,由
得
. ……2分
若存在由
得
,
从而有,与
矛盾,所以
.
从而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①证明:
证法一:∵∴
∴
∴.…………10分
证法二:,下同证法一.
……10分
证法三:(利用对偶式)设,
,
则.又
,也即
,所以
,也即
,又因为
,所以
.即
………10分
证法四:(数学归纳法)①当时,
,命题成立;
②假设时,命题成立,即
,
则当时,
即
即
故当时,命题成立.
综上可知,对一切非零自然数,不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
从而.
也即
已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为d,
为其前n项和,且满足
,
.数列
满足
,
,
为数列
的前n项和.
(1)求数列的通项公式
和数列
的前n项和
;
(2)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得
成等比数列?若存在,求出所有
的值;若不存在,请说明理由.
【解析】第一问利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又时,
满足
,
,
第二问,①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时
需满足
.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时
取得最小值-6.
此时
需满足
.
第三问,
若成等比数列,则
,
即.
由,可得
,即
,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,,
[
又时,
满足
,
,
.
(2)①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时
需满足
.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式
恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时
取得最小值-6.
此时
需满足
.
综合①、②可得的取值范围是
.
(3),
若成等比数列,则
,
即.
由,可得
,即
,
.
又,且m>1,所以m=2,此时n=12.
因此,当且仅当m=2,
n=12时,数列中的
成等比数列
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