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    (福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C:+＝1的离心率为.过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A.B两点.N为弦AB的中点. (1)求直线ON(O为坐标原点)的斜率KON , (2)对于椭圆C上任意一点M .试证:总存在角(∈R)使等式:＝cos+sin成立. 解:(1)设椭圆的焦距为2c,因为.所以有.故有.从而椭圆C的方程可化为: ① ---2分 易知右焦点F的坐标为(). 据题意有AB所在的直线方程为: ② ---3分 由①.②有: ③ 设.弦AB的中点.由③及韦达定理有: 所以.即为所求. ---5分 (2)显然与可作为平面向量的一组基底.由平面向量基本定理.对于这一平面内的向量.有且只有一对实数.使得等式成立.设.由1)中各点的坐标有: .所以 . ---7分 又点在椭圆C上.所以有整理为. ④ 由③有:.所以 ⑤ 又A﹑B在椭圆上.故有 ⑥ 将⑤.⑥代入④可得:. ---11分 对于椭圆上的每一个点.总存在一对实数.使等式成立.而 在直角坐标系中.取点P().设以x轴正半轴为始边.以射线OP为终边的角为.显然 . 也就是:对于椭圆C上任意一点M .总存在角(∈R)使等式:＝cos+sin成立. 【查看更多】

     

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