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    (广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)如图.棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2.∠ABC=60°.平面AA1C1C⊥平面ABCD.∠A1AC=60°. (Ⅰ)证明:BD⊥AA1, (Ⅱ)求二面角D-A1A-C的平面角的余弦值, (Ⅲ)在直线CC1上是否存在点P.使BP//平面DA1C1?若存在.求出点P的位置,若不存在.说明理由. 解:连接BD交AC于O.则BD⊥AC. 连接A1O 在△AA1O中.AA1=2.AO=1. ∠A1AO=60° ∴A1O2=AA12+AO2-2AA1·Aocos60°=3 ∴AO2+A1O2=A12 ∴A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥ 平面ABCD. 所以A1O⊥底面ABCD ∴以OB.OC.OA1所在直线为x轴.y轴.z轴建立如图所示空间直角坐标系.则A.B(.0.0).C.D(-.0.0).A1(0.0.) --------2分 (Ⅰ)由于 则 ∴BD⊥AA1--------4分 (Ⅱ)由于OB⊥平面AA1C1C ∴平面AA1C1C的法向量 设⊥平面AA1D 则 得到--------6分 所以二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是--------8分 (Ⅲ)假设在直线CC1上存在点P.使BP//平面DA1C1 设 则 得--------9分 设 则设 得到--------10分 又因为平面DA1C1 则· 即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP--------12分 法二:在A1作A1O⊥AC于点O.由于平面AA1C­1C⊥平面 ABCD.由面面垂直的性质定理知.A1O⊥平面ABCD. 又底面为菱形.所以AC⊥BD --------4分 (Ⅱ)在△AA1O中.A1A=2.∠A1AO=60° ∴AO=AA1·cos60°=1 所以O是AC的中点.由于底面ABCD为菱形.所以 O也是BD中点 由(Ⅰ)可知DO⊥平面AA1C 过O作OE⊥AA1于E点.连接OE.则AA1⊥DE 则∠DEO为二面角D-AA1-C的平面角 --------6分 在菱形ABCD中.AB=2.∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2 ∴AO=1.DO= 在Rt△AEO中.OE=OA·sin∠EAO= DE= ∴cos∠DEO= ∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是--------8分 (Ⅲ)存在这样的点P 连接B1C.因为A1B1ABDC ∴四边形A1B1CD为平行四边形. ∴A1D//B1C 在C1C的延长线上取点P.使C1C=CP.连接BP--------10分 因B­1­BCC1.--------12分 ∴BB1CP ∴四边形BB1CP为平行四边形 则BP//B1C ∴BP//A1D ∴BP//平面DA1C1 【查看更多】

     

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