已知递增等差数列满足：，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若不等式对任意恒成立，试猜想出实数的最小值，并证明．

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为，

由题意可知，即，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于，利用当时，；当时，；而，所以猜想，的最小值为然后加以证明即可。

解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等价于，

当时，；当时，；

而，所以猜想，的最小值为．     …………8分

下证不等式对任意恒成立．

方法一：数学归纳法．

当时，，成立．

假设当时，不等式成立，

当时，， …………10分

只要证  ，只要证  ，

只要证  ，只要证  ，

只要证  ，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分

方法二：单调性证明．

要证 

只要证  ，  

设数列的通项公式，        …………10分

，    …………12分

所以对，都有，可知数列为单调递减数列．

而，所以恒成立，

故的最小值为．

 

已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

（1）证明：面面；

（2）求与所成的角；

（3）求面与面所成二面角的余弦值．

【解析】（1）利用面面垂直的性质，证明CD⊥平面PAD．

（2）建立空间直角坐标系，写出向量与的坐标，然后由向量的夹角公式求得余弦值，从而得所成角的大小.

（3）分别求出平面的法向量和面的一个法向量，然后求出两法向量的夹角即可．

 

设f (x)＝sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)，其中x∈R．

(Ⅰ) 该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

(Ⅱ)若f (θ)＝，其中，求cos(θ＋)的值；

【解析】第一问中，

即变换分为三步，①把函数的图象向右平移，得到函数的图象；

②令所得的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象；

③令所得的图象上各点的横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象；

第二问中因为，所以，则，又 ，,从而

进而得到结论。

(Ⅰ) 解：

即。…………………………………3分

变换的步骤是：

①把函数的图象向右平移，得到函数的图象；

②令所得的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象；

③令所得的图象上各点的横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象；…………………………………3分

(Ⅱ) 解：因为，所以，则，又 ，,从而……2分

(1)当时，；…………2分

(2)当时；

 

已知函数，

（1）求函数的定义域；

（2）求函数在区间上的最小值；

（3）已知，命题p：关于x的不等式对函数的定义域上的任意恒成立；命题q：指数函数是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

【解析】第一问中，利用由 即

第二问中，，得：

，

第三问中，由在函数的定义域上 的任意，，当且仅当时等号成立。当命题p为真时，；而命题q为真时：指数函数．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以

当命题p为真，命题q为假时；当命题p为假，命题q为真时分为两种情况讨论即可 。

解：（1）由 即

（2），得：

，

（3）由在函数的定义域上 的任意，，当且仅当时等号成立。当命题p为真时，；而命题q为真时：指数函数．因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以

当命题p为真，命题q为假时，

当命题p为假，命题q为真时，，

所以

 

某投资公司年初用万元购置了一套生产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费用第一年需要支出万元，第二年需要支出万元，第三年需要支出万元，……，每年都比上一年增加支出万元，而每年的生产收入都为万元．假设这套生产设备投入使用年，，生产成本等于生产设备购置费与这年生产产品相关的各种配套费用的和，生产总利润等于这年的生产收入与生产成本的差. 请你根据这些信息解决下列问题：

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若干年后，该投资公司对这套生产设备有两个处理方案：

方案一：当年平均生产利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备；

方案二：当生产总利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备． 你认为哪个方案更合算？请说明理由．