已知点为圆上的动点，且不在轴上，轴，垂足为，线段中点的轨迹为曲线，过定点任作一条与轴不垂直的直线，它与曲线交于、两点。

（I）求曲线的方程；

（II）试证明：在轴上存在定点，使得总能被轴平分

【解析】第一问中设为曲线上的任意一点，则点在圆上，

∴，曲线的方程为

第二问中，设点的坐标为，直线的方程为，　　………………3分　 　

代入曲线的方程，可得　

∵，∴

确定结论直线与曲线总有两个公共点．

然后设点,的坐标分别, ，则，  

要使被轴平分，只要得到。

（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，

∴，曲线的方程为．  ………………2分       

（2）设点的坐标为，直线的方程为，　　………………3分　 　

代入曲线的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）

………………6分

设点,的坐标分别, ，则，   

要使被轴平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

当时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．

所以在x轴上存在定点，使得总能被轴平分

 

已知函数

（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x²，是否存在实数a，当x∈（0，e](e是自然常数)时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当x∈（0，e]时，证明：

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。第一问中利用函数f（x）在[1，2]上是减函数，的导函数恒小于等于零，然后分离参数求解得到a的取值范围。第二问中，

假设存在实数a，使有最小值3，利用，对a分类讨论，进行求解得到a的值。

第三问中，

因为，这样利用单调性证明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 

（Ⅲ）见解析