已知函数。

（I）求函数的极值；

    （II）对于曲线上的不同两点P₁（x₁,y₁），P₂（x₂,y₂），如果存在曲线上的点Q（x₀,y₀），    且x₁<x₀<x₂，使得曲线在点Q处的切线//P₁P_2,，则称为弦P₁P_2,的伴随切线。

特别地，当x₀ = x₁ + (1-)x₂ (0<<1)时，又称为弦P₁P_2,的-伴随切线。

（i）求证：曲线y=f(x)的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；

（ii）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由。

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上任意x₁，x₂都有不等式成立，则称函数y=f（x）在区间D上的凸函数．
（I）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（II）对（I）的函数y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值时函数y=f（x）的解析式；
（III）定义在R上的任意凸函数y=f（x），当q，p，m，n∈N^*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，证明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．