已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：

OM

•

OP

为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，上、下顶点分别为A₁，A₂，椭圆上的点到上焦点F₁的距离的最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）以原点为顶点，F₁为焦点的抛物线上的点P（非原点）处的切线与x轴，y轴分别交于Q、R两点，若

PQ

=λ

PR

，求λ的值．
（3）是否存在过点（0，m）的直线l，使得l与椭圆相交于A、B两点（A、B不是上、下顶点）且满足

A1A

•

A1B

=0，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

已知A、D分别为椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点，椭圆的离心率e=

3

2

，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且

PF1

．

PF2

的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程．
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
（3）设直线l与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B₁，当R为何值时，|A₁B₁|取最大值？并求最大值．

已知数列{a_n}对于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2．
（1）求a_n的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列{

an-1

an

}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式An

an+1

＜a-

3

2a

对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知A，B 分别为曲线C：

x2

a2

+y²=1（y≥0，a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C于点T．
（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧

AB

的三等分点，试求出点S的坐标；
（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．