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已知复数均为实数，为虚数单位，且对于任意复数。
（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；
（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

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已知复数（a∈R，i为虚数单位），若z是纯虚数，则实数a等于（ ）
A．
B．
C．1
D．-1

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已知复数（a∈R，i为虚数单位），若z是纯虚数，则实数a等于（ ）
A．
B．
C．1
D．-1

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已知复数（a∈R，i为虚数单位），若z是纯虚数，则实数a等于

[     ]

A．
B．-
C．1
D．-1

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一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

D C B B C       D C A C C       A A

二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

（13）       （14）        （15）―1        （16）

三．解答题

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）：

．           3分

依题意，的周期，且，∴ ．∴．

∴ ．                                            5分

∵ [0，], ∴ ≤≤，∴ ≤≤1，

  ∴ 的最小值为 ，即    ∴ ．

∴ ．                                            7分

（Ⅱ）∵ =2， ∴ ．

又 ∵ ∠∈（0，）， ∴ ∠＝．                                  9分

在△ABC中，∵ ，，

∴ ，．解得 ．

又 ∵ 0， ∴ ．                                 12分

（18）（本小题满分12分）

解：以A点为原点，AB为轴，AD为轴，AD

为轴的空间直角坐标系，如图所示．则依题意可知相

关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（，0，0），

C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），

   ∴ M（，1，0），N（，，）．                                  2分

   ∴ （0，，），（，0，0），（，，）．    4分

   ∴ ，．∴ ，．

   ∴ MN ⊥平面ABN．                                                      6分

   （Ⅱ）设平面NBC的法向量为（，，），则，．且又易知 ，．

   ∴   即    ∴

   令，则（，0，）．                                           9分

   显然，（0，，）就是平面ABN的法向量．

∴ ．

   ∴ 二面角的余弦值是．                                    12分

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得

（）；                             3分

同理可得（）；

（）．                           5分

（Ⅱ）．        8分

（Ⅲ）由上问知 ，即是关于的三次函数，设

，则．

令，解得  或 （不合题意，舍去）．

显然当  时，；当  时，．

∴ 当年产量   时，随机变量  的期望  取得最大值．              12分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设（，）是函数 的图象上任意一点，则容易求得点关于直线  的对称点为（，），依题意点（，）在的图象上，

∴ ． ∴ ．            2分

∴ ．

∵ 是  的一个极值点，∴ ，解得 ．

∴ 函数  的表达式是 （）．            4分

∴ ．

∵ 函数  的定义域为（）， ∴  只有一个极值点，且显然当

时，；当时，．

∴ 函数  的单调递增区间是；单调递减区间是．           6分

（Ⅱ）由 ，

得 ，∴ ．      9分

∴  在 时恒成立．

∴ 只需求出  在   时的最大值和  在

 时的最小值，即可求得  的取值范围．

∵ （当  时）；

（当  时）．

∴   的取值范围是 ．                                         12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵ ，

∴．

设O关于直线 的

对称点为的横坐标为 ．

又易知直线  解得线段的中点坐标

为（1，－3）．∴．

∴ 椭圆方程为 ．                                           5分

（Ⅱ）显然直线AN存在斜率，设直线AN的方程为 ，代入 并整理得：． 

设点，，则．

由韦达定理得 ，．                       8分

∵ 直线ME方程为 ，令，得直线ME与x轴的交点的横坐标 ．

将，代入，并整理得 ．   10分

再将韦达定理的结果代入，并整理可得．

∴ 直线ME与轴相交于定点（，0）．                                  12分

（22）（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）∵ ，，且 （，N?），

∴  ．                                                            2分

将 去分母，并整理得 ．                      5分

∴ ，，……，，

将这个同向不等式相加，得 ，∴ ．    7分

（Ⅱ）∵ ，∴ ．                     9分

∴ ．即 ．                        11分

∴ ，即

．                                                14分