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    的直线与抛物线 相交于 A.B 两点.O 为坐标原点.则 ． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

     直线与抛物线相交于A，B两点，F是抛物线的焦点。

    （1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么”是真命题

    （2）设是抛物线上三点，且成等差数列。当AD的垂直平分线与轴交于点T（3，0）时，求点B的坐标。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    已知点（0，1），，直线、都是圆 的切线（点不在轴上）. 以原点为顶点,且焦点在轴上的抛物线C恰好过点P.

    （1）求抛物线C的方程；

    （2）过点(1,0)作直线与抛物线C相交于两点，问是否存在定点使为常数？若存在，求出点的坐标及常数；若不存在，请说明理由.

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    （9分）已知动直线与抛物线相交于A点，动点B的坐标是

    （Ⅰ）求线段AB的中点M的轨迹的方程；

    （Ⅱ）若过点N（1，0）的直线交轨迹于、两点，点是坐标原点，若面积为4，求直线的倾斜角.

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    抛物线y=g（x）经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值．
    （1）用m，x表示f（x）=0．
    （2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）．
    （3）若m+n≤2
    		2
    ，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=（x）均相切，求y=f（x）

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    抛物线y=-
    12
    x2    与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为2，求直线l的方程以及线段AB的长．

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    一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

    D C B B C       D C A C C       A A

    二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）

    （13）       （14）        （15）―1        （16）

    三．解答题

    （17）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）：

    ．           3分

    依题意，的周期，且，∴ ．∴．

    ∴ ．                                            5分

    ∵ [0，], ∴ ≤≤，∴ ≤≤1，

      ∴ 的最小值为 ，即    ∴ ．

    ∴ ．                                            7分

    （Ⅱ）∵ =2， ∴ ．

    又 ∵ ∠∈（0，）， ∴ ∠＝．                                  9分

    在△ABC中，∵ ，，

    ∴ ，．解得 ．

    又 ∵ 0， ∴ ．                                 12分

    （18）（本小题满分12分）

    解：以A点为原点，AB为轴，AD为轴，AD

    为轴的空间直角坐标系，如图所示．则依题意可知相

    关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（，0，0），

    C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），

       ∴ M（，1，0），N（，，）．                                  2分

       ∴ （0，，），（，0，0），（，，）．    4分

       ∴ ，．∴ ，．

       ∴ MN ⊥平面ABN．                                                      6分

       （Ⅱ）设平面NBC的法向量为（，，），则，．且又易知 ，．

       ∴   即    ∴

       令，则（，0，）．                                           9分

       显然，（0，，）就是平面ABN的法向量．

    ∴ ．

       ∴ 二面角的余弦值是．                                    12分

    （19）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）由题意得

     

    （）；                             3分

    同理可得（）；

    （）．                           5分

    （Ⅱ）．        8分

    （Ⅲ）由上问知 ，即是关于的三次函数，设

    ，则．

    令，解得  或 （不合题意，舍去）．

    显然当  时，；当  时，．

    ∴ 当年产量   时，随机变量  的期望  取得最大值．              12分

    （20）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）设（，）是函数 的图象上任意一点，则容易求得点关于直线  的对称点为（，），依题意点（，）在的图象上，

    ∴ ． ∴ ．            2分

    ∴ ．

    ∵ 是  的一个极值点，∴ ，解得 ．

    ∴ 函数  的表达式是 （）．            4分

    ∴ ．

    ∵ 函数  的定义域为（）， ∴  只有一个极值点，且显然当

    时，；当时，．

    ∴ 函数  的单调递增区间是；单调递减区间是．           6分

    （Ⅱ）由 ，

    得 ，∴ ．      9分

    ∴  在 时恒成立．

    ∴ 只需求出  在   时的最大值和  在

     时的最小值，即可求得  的取值范围．

    ∵ （当  时）；

    （当  时）．

    ∴   的取值范围是 ．                                         12分

     

    （21）（本小题满分12分）

    解：（Ⅰ）∵ ，

    ∴．

    设O关于直线 的

    对称点为的横坐标为 ．

    又易知直线  解得线段的中点坐标

    为（1，－3）．∴．

    ∴ 椭圆方程为 ．                                           5分

    （Ⅱ）显然直线AN存在斜率，设直线AN的方程为 ，代入 并整理得：． 

    设点，，则．

    由韦达定理得 ，．                       8分

    ∵ 直线ME方程为 ，令，得直线ME与x轴的交点的横坐标 ．

    将，代入，并整理得 ．   10分

    再将韦达定理的结果代入，并整理可得．

    ∴ 直线ME与轴相交于定点（，0）．                                  12分

    （22）（本小题满分14分）

    证明：（Ⅰ）∵ ，，且 （，N?），

    ∴  ．                                                            2分

    将 去分母，并整理得 ．                      5分

    ∴ ，，……，，

    将这个同向不等式相加，得 ，∴ ．    7分

    （Ⅱ）∵ ，∴ ．                     9分

    ∴ ．即 ．                        11分

    ∴ ，即

    ．                                                14分

     

     


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