题目列表(包括答案和解析)
| 1 | 2 |
| x-1 |
| 1-x |
| a |
有如下性质：如果常数a＞0,那么该函数在(0，
］上是减函数，在［
,+∞)上是增函数.(1)如果函数y=x+
(x＞0)的值域为［6,+∞)，求b的值；
(2)研究函数y=x2+
(常数c＞0)在定义域内的单调性，并说明理由；
(3)对函数y=x+
和y=x2+
(常数a＞0)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性(只须写出结论，不必证明)，并求函数f(x)=(x2+
)n+(
+x)n(n是正整数)在区间［
,2］上的最大值和最小值(可利用你的研究结论).
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
（D）
（B）
（A）
（A）
（D）
（C）
（B）
（C）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）
（9）-1 （10）{x|x<-4,或x>-1} （11）4
（12）（0，-1）,（x-1)2+(y-1)2=1 （13）
(14)4,8
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵p =(sinx,cosx+sinx), q =(2cosx,cosx-sinx),
∴f（x）=p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx-sinx)
=2sinxcosx+cos2x-sin2x …………………………………… 2分
=sin2x+cos2x ………………………………………………
4分
∴ f(
)=
. ……………………………………………………
5分
又f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+
) ……………………………
6分
∴函数f(x)的最大值为. ………………………………………
7分
当且仅当x=
+k
(k
Z)时，函数f(x)取得最大值.
（Ⅱ）由2k-
≤2x+≤2k+ ( kZ), ……………………
9分
得k-
≤x≤k+. …………………………………………
11分
函数f(x)的单调递增区间为［k-, k+］(
kZ). ……
12分
（16）（共14分）
解法一：（Ⅰ）证明：连结A1D，在正方体AC1中，∵A1B1⊥平面A1ADD1，
∴A1D是PD在平面A1ADD1内的射影. …………………………………… 2分
∵在正方形A1ADD1中，A1D⊥AD1，∴PD⊥AD1. ……………………… 4分
解：（Ⅱ）取D
∵A1D1⊥平面D1DCC1，∴PM⊥平面D1DCC1.
∴CM为CP在平面D1DCC1内的射影.则∠PCM为CP与平面D1DCC1
所成的角. …………………………………………………………… 7分
在Rt△PCM中,sinPCM=
=
.
∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为
. …………………………… 9分
（Ⅲ）在正方体AC1中，D1D∥C
∵C
平面D1DP内，
∴C
∴点C到平面D1DP的距离与点C1
到平面D1DP的距离相等.
又D1D⊥平面A1B
DD1
平面D1DP
∴平面D1DP⊥平面A1B
又平面D1DP∩平面A1B
D1P,过C1作C1H⊥D1P于H,
则C1H⊥平面D1DP.
∴C1H的长为点C1到平面D1DP的距离. ………………………12分
连结C1P，并在D
C1H?D1P=PQ?D
.
∴点C到平面D1DP的距离为
. ………………………………
14分
解法二：如图，以D为坐标原点，建立空
间直角坐标系D-xyz.
由题设知正方体棱长为4，则
D(0,0,0) ,A(4,0,0)，
B1(4,4,4) ,A1(4,0,4)，
D1(0,0,4) ,C（0,4,0）.
………………………………………1分
(Ⅰ)设P(4，y0，4),
∴
=(4,y0,4),
∴
=(-4,0,4)
……………………………3分
∵
?
=-16+16=0,
∴PD⊥AD1. …………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）由题设可得,P（4,2,4），故
=（4，-2，4）.
∵AD⊥平面D1DCC1, ∴
=(4,0,0)是平面D1DCC1的法向量. ……………
……………………………………………………………………………… 7分
∴cos<,
>=
=.……………………………………………… 8分
∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为. …………………………………… 9分
(Ⅲ) ∵
=(0,4,0),设平面D1DP的法向量n=(x,y,z),
∵P(4,3,4), ∴
=(0,0,4),=(4,3,4).
则
即
令x=-3,则y=4.
∴n=(-3,4,0). ……………………………………………………………… 12分
∴点C到平面D1DP的距离为d= =. ………………………… 14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，…… 1分
依题意，答对一题的概率为
，则
P（M）=
…………………………………………………… 3分
=15×
=
=
. ………………………………………………… 4分
（Ⅱ）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数η=1，2，…,6，……… 5分
则P(η=1)=,P(η=2)=
,P(η=3)=
,P(η=4)=
, P(η=5)=
,
P(η=6)= 
, ……………………………………………………… 11分
所以,η的分布列是
η
1
2
3
4
5
6
Eη=1×
+2×
×+…+5×
×+6×
.
设S=1+2×+…+5×,
则S=+2×
+3×
+4×+5×,
S=1++++
-5×
=
-5×,
Eη=-5×+6×=
=
. ………………………
13分
答：某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为；某人参加B种竞猜活动，
结束时答题数为η，Eη为.
（18）（共13分）
解：如图，建立直角坐标系，依题意:设
椭圆方程为
+
=1(a>b>0),
……………………………… 1分
(Ⅰ)依题意：
=
，b=1,
a2= b2+c2, ………… 4分
∵椭圆M的离心率大于0.7,
∴a2=4, b2=1.
∴椭圆方程为
+y2=1. ……………………………………………………
6分
(Ⅱ)因为直线l过原点与椭圆交于点P,Q，设椭圆M的左焦点为F1.由对称性可知，
四边形PF1QF2是平行四边形.
∴△PF2Q的面积等于△PF
∵∠PF2Q=
，∴∠F1PF2=.
设|PF1|=r1,
|PF2|=r2,则
………………………………
10分
∴r1
r2=
. …………………………………………………………………
11分
∴S△
=S△
= 
r1 r2sin=
. …………………………………
13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）f′(x)=-3x2+2ax. ……………………………………………………… 1分
据题意，f′(1)=tan=1, ∴-3+2a=1,即a=2.
……………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-x3+2x2-4,
则f′(x)=-3x2+4x.
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
f′(x)
-7
-
0
+
1
f(x)
-1
-4
-3
…………………………………………………………………………… 5分
∴对于m［-1,1］,f(m)的最小值为f(0)=-4 …………………
6分
∵f′( x)=-3x2+4x的对称轴为x=
,且抛物线开口向下，
∴x［-1,1］时，f′( x)的最小值为f′( -1)与f′( 1)中较小的.
∵f′( 1)=1，f′( -1)=-7,
∴当x［-1,1］时，f′( x)的最小值为-7.
∴当n［-1,1］时，f′ ( x)的最小值为-7. ……………………
7分
∴f(m)+ f′( n)的最小值为-11. ………………………………… 8分
(Ⅲ) ∵f′( x)= -3x
.
①若a≤0,当x>0时，f′( x)<0, ∴f(x)在［0,+∞
上单调递减.
又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.
∴当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0. …………………………………… 11分
②若a>0,则当0<x<
时，f ′( x)>0,当x>时，f ′( x)<0.
从而f(x)在(0, 
上单调递增，在 [,+∞
上单调递减.
∴当x(0,+∞)时,
f(x)max=f(
)=-
+
-4=
-4.
据题意，-4>0，即a3>27.
∴a>3. ………………………………
14分
综上，a的取值范围是(3,+∞).
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由①知，对任意a,bN*，a＜b,都有（a
b）（f (a)f（b））＞0，
由于a-b＜0, 从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N*上的单调增函数. …3分
（Ⅱ）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1,否则f（f（1））= f（1）=1,与f（f（1））=3矛盾.
从而a＞1,
而由f（f（1））=3，即得f（a）=3.
又由（Ⅰ）知f（a）＞f（1）=a ,即a＜3.
于是得1＜a＜3,又aN*,从而a=2，即f（1）=2 ……………… 5分
进而由f（a）=3知，f（2）=3.
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，………………………………… 7分
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81.
由于5427=8154=27,
而且由（Ⅰ）知，函数f（x）为单调增函数，因此f（28）=54+1=55.
从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66.……………………… 9分
（Ⅲ）f（an）=f（f（3n））=3×3n=3n+1,
an+1=f（3n+1）=f（f（an））=3an,a1=f（3）=6.
即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列.
∴an=6×3n1=2×3n（n=1，2，3…）.………………………… 11分
于是
+
+…+
=
（
+
+…+
）=×
.
显然（
）＜.………………………………………………12分
另一方面3n=（1+2）n=1+
×2+
×22+…+
×2n≥1+2n,
从而（1）≥（1
）=
.
综上得
≤++…+＜.………………………………14分
说明：其他正确解法按相应步骤给分.
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