设函数f(x)=p?q.其中向量p=(sinx,cosx+sinx), q= (2cosx,cosx-sinx),xR. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

 

四、附加题:(本大题共1小题,共15分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

23.(本小题满分15分)

 已知函数

 (Ⅰ)求函数的最大值;

 (Ⅱ)当时,求证

 

查看答案和解析>>

二、解答题:本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、(本小题满分14分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边为
(1)若 求A的值;
(2)若,求的值.

查看答案和解析>>

(本小题共12分)

现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.

月收入(单位百元)

[15,25

[25,35

[35,45

[45,55

[55,65

[65,75

频数

5

10

15

10

5

5

赞成人数

4

8

12

5

2

1

 

(1)由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异;

 

月收入不低于55百元的人数

月收入低于55百元的人数

合计

赞成

 

不赞成

 

合计

 

 

 

 

(2)若对在[15,25) ,[25,35)的被调查中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ,求随机变量的分布列。

附:

 

查看答案和解析>>

(本小题共12分)将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:

(1)两数之和为5的概率;

(2)两数中至少有一个奇数的概率;

(3)以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率.

 

查看答案和解析>>

(本小题共15分)已知函数

 (1)若为方程的两个实根,并且A,B为锐角,求m的取值范围;

 (2)对任意实数,恒有,证明:.

 

查看答案和解析>>

 

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

题号

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

答案

(D)

(B)

(A)

(A)

(D)

(C)

(B)

(C)

 

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)

(9)-1     (10){x|x<-4,或x>-1}    (11)4

(12)(0,-1),(x-1)2+(y-1)2=1    (13)    (14)4,8

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

(15)(共12分)

解:()∵p =(sinx,cosx+sinx), q =(2cosx,cosx-sinx),

fx)=p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx-sinx)

=2sinxcosx+cos2x-sin2x   …………………………………… 2分

=sin2x+cos2……………………………………………… 4分
f()=. …………………………………………………… 5分
f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+)  …………………………… 6分
∴函数f(x)的最大值为.  ……………………………………… 7分
当且仅当x=+k(kZ)时,函数f(x)取得最大值.

)由2k-≤2x+≤2k+ ( kZ),  …………………… 9分

k-xk+.  ………………………………………… 11分

函数f(x)的单调递增区间为[k-, k+]( kZ). …… 12分

(16)(共14分)

解法一:()证明:连结A1D在正方体AC1中,∵A1B1⊥平面A1ADD1

A1DPD在平面A1ADD1内的射影. …………………………………… 2分

 

∵在正方形A1ADD1中,A1DAD1,∴PDAD1.  ……………………… 4分

解:()取D1C1中点M,连结PMCM,则PMA1D1.

A1D1⊥平面D1DCC1,∴PM⊥平面D1DCC1.

CMCP在平面D1DCC1内的射影.则∠PCMCP与平面D1DCC1

所成的角.      …………………………………………………………… 7分

在Rt△PCM中,sinPCM==.

CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为. …………………………… 9分

)在正方体AC1中,D1DC1C.

C1C平面D1DP内,

C1C⊥∥平面D1DP.

∴点C到平面D1DP的距离与点C1

到平面D1DP的距离相等.

D1D⊥平面A1B1C1D1,

DD1平面D1DP

∴平面D1DP⊥平面A1B1C1D1,

又平面D1DP∩平面A1B1C1D1=

D1P,C1C1HD1PH,

C1H⊥平面D1DP.

C1H的长为点C1到平面D1DP的距离.    ………………………12分

连结C1P,并在D1C1上取点Q,使PQB1C1,在△D1PC1中,

C1H?D1P=PQ?D1C1,得C1H= .

∴点C到平面D1DP的距离为.   ……………………………… 14分

解法二:如图,以D为坐标原点,建立空

间直角坐标系D-xyz.

由题设知正方体棱长为4,则

D(0,0,0) ,A(4,0,0),

B1(4,4,4) ,A1(4,0,4),

D1(0,0,4) ,C(0,4,0).

………………………………………1分

(Ⅰ)设P(4,y0,4),

=(4,y0,4),

=(-4,0,4)

……………………………3分

?=-16+16=0,

PDAD1.   …………………………………………………………… 4分

)由题设可得,P(4,2,4),故=(4,-2,4).

AD⊥平面D1DCC1, =(4,0,0)是平面D1DCC1的法向量.  ……………

……………………………………………………………………………… 7分

∴cos<, >=          =.……………………………………………… 8分

CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为. …………………………………… 9分

(Ⅲ) ∵=(0,4,0),设平面D1DP的法向量n=(x,y,z),

P(4,3,4), ∴=(0,0,4),=(4,3,4).

则             即x=-3,则y=4.  

n=(-3,4,0).   ……………………………………………………………… 12分

∴点C到平面D1DP的距离为d=        =.  ………………………… 14分

(17)(共13分)

解:()设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M,…… 1分

依题意,答对一题的概率为,则

P(M)=  …………………………………………………… 3分

=15×==.    ………………………………………………… 4分

(Ⅱ)依题意,某人参加B种竞猜活动,结束时答题数η=1,2,…,6,……… 5分

P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,P(η=4)=, P(η=5)=,

P(η=6)= ,    ………………………………………………………  11分

所以,η的分布列是

η

1

2

3

4

5

6

 

Eη=1×+2××+…+5××+6×.

S=1+2×+…+5×,

S=+2×+3×+4×+5×,

S=1++++-5×=-5×,

Eη=-5×+6×==.  ……………………… 13分

答:某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为;某人参加B种竞猜活动,

结束时答题数为η,Eη.

(18)(共13分)

解:如图,建立直角坐标系,依题意:设

椭圆方程为+=1(a>b>0),

……………………………… 1分

 (Ⅰ)依题意:=b=1,

a2= b2+c2, ………… 4分

∵椭圆M的离心率大于0.7,

a2=4, b2=1.

∴椭圆方程为+y2=1.  …………………………………………………… 6分

(Ⅱ)因为直线l过原点与椭圆交于点P,Q,设椭圆M的左焦点为F1.由对称性可知,

四边形PF1QF2是平行四边形.

∴△PF2Q的面积等于△PF1 F2的面积.  …………………………………… 8分

∵∠PF2Q=,∴∠F1PF2=.

设|PF1|=r1, |PF2|=r2,则   ……………………………… 10分

r1 r2=.  ………………………………………………………………… 11分

S=S= r1 r2sin=.  ………………………………… 13分

(19)(共14分)

解:(f(x)=-3x2+2ax.   ……………………………………………………… 1分

据题意,f(1)=tan=1, ∴-3+2a=1,即a=2. ……………………………3分

(Ⅱ)由()知f(x)=-x3+2x2-4,

f(x)=-3x2+4x.

x

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

f(x)

-7

-

0

+

1

f(x)

-1

-4

-3

…………………………………………………………………………… 5分

∴对于m[-1,1],f(m)的最小值为f(0)=-4  ………………… 6分

f′(   x)=-3x2+4x的对称轴为x=,且抛物线开口向下,

x[-1,1]时,f′(   x)的最小值为f′(   -1)与f′(   1)中较小的.

f′(  1)=1,f′(  -1)=-7,

∴当x[-1,1]时,f′(   x)的最小值为-7.

∴当n[-1,1]时,f′ (   x)的最小值为-7.  …………………… 7分

f(m)+ f′(   n)的最小值为-11.   ………………………………… 8分

(Ⅲ) ∵f′(  x)= -3x.

①若a≤0,当x>0时,f′(   x)<0, ∴f(x)在[0,+∞上单调递减.

f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.

∴当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0. …………………………………… 11分

②若a>0,则当0<x<时,f ′(  x)>0,当x>时,f ′(  x)<0.

从而f(x)在(0, 上单调递增,在 [,+∞上单调递减.

∴当x(0,+∞)时, f(x)max=f()=-+-4=-4.

据题意,-4>0,即a3>27. ∴a>3.  ……………………………… 14分

综上,a的取值范围是(3,+∞).

(20)(共14分)

解:()由①知,对任意a,bN*,ab,都有(ab)(f (a)fb))>0,

由于a-b<0, 从而fa)<fb),所以函数fx)为N*上的单调增函数. …3分

)令f(1)=a,则a≥1,显然a≠1,否则ff(1))= f(1)=1,与ff(1))=3矛盾.

      从而a>1,

而由ff(1))=3,即得fa)=3.

又由(Ⅰ)知fa)>f(1)=a ,即a<3.

于是得1<a<3,又aN*,从而a=2,即f(1)=2  ……………… 5分

进而由fa)=3知,f(2)=3.

于是f(3)=ff(2))=3×2=6,………………………………… 7分

f(6)=ff(3))=3×3=9,

f(9)=ff(6))=3×6=18,

f(18)=ff(9))=3×9=27,

f(27)=ff(18))=3×18=54,

f(54)=ff(27))=3×27=81.

由于5427=8154=27,

而且由(Ⅰ)知,函数fx)为单调增函数,因此f(28)=54+1=55.

从而f(1)+f(6)+f(28)=2+9+55=66.………………………  9分

(Ⅲ)f(an)=ff(3n))=3×3n=3n+1,

an+1=f(3n+1)=ffan))=3an,a1=f(3)=6.

即数列{an}是以6为首项,以3为公比的等比数列.

an=6×3n1=2×3nn=1,2,3…).…………………………  11分

      于是++…+=++…+)=×.

       显然)<.………………………………………………12分

      另一方面3n=(1+2)n=1+×2+×22++×2n≥1+2n,

      从而(1)≥(1)=.

       综上得++…+.………………………………14分

 

说明:其他正确解法按相应步骤给分.

 


同步练习册答案