题目列表(包括答案和解析)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,若对任意
,
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【解析】第一问利用的定义域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是
第二问中,若对任意不等式
恒成立,问题等价于
只需研究最值即可。
解: (I)的定义域是
......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是
........4分
(II)若对任意不等式
恒成立,
问题等价于,
.........5分
由(I)可知,在上,x=1是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,
故也是最小值点,所以; ............6分
当b<1时,;
当时,
;
当b>2时,;
............8分
问题等价于 ........11分
解得b<1 或 或
即
,所以实数b的取值范围是
(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2个小题满分8分。
已知.
(1)当,
时,若不等式
恒成立,求
的范围;
(2)试证函数在
内存在零点.
(本题满分18分,第(1)题5分,第(2)题5分,第(3)题8分)
已知函数。
(1)若函数是
上的增函数,求实数
的取值范围;
(2)当时,若不等式
在区间
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)对于函数若存在区间
,使
时,函数
的值域也是
,则称
是
上的闭函数。若函数
是某区间上的闭函数,试探求
应满足的条件。
(本题满分18分,其中第1小题5分,第2小题5分,第3小题8分)
在平面直角坐标系中,已知为坐标原点,点
的坐标为
,点
的坐标为
,其中
且
.设
.
(1)若,
,
,求方程
在区间
内的解集;
(2)若点是过点
且法向量为
的直线
上的动点.当
时,设函数
的值域为集合
,不等式
的解集为集合
. 若
恒成立,求实数
的最大值;
(3)根据本题条件我们可以知道,函数的性质取决于变量
、
和
的值. 当
时,试写出一个条件,使得函数
满足“图像关于点
对称,且在
处
取得最小值”.(说明:请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次,给予不同的评分.)
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