的值为

A.5                              B.4                              C.7                              D.0

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A．（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线ρsin(θ+

π

3

)=4的距离的最小值是

 

．
B．（选修4-5不等式选讲）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是

 

．
C．（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是

 

．

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A．选修4-1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线C₁=x²+2y2=1在矩阵M=[

1 2 0 1

]的作用下变换为曲线C₂，求C₂的方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
P为曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）上一点，求它到直线C₂：

x=1+2t y=2

（t为参数）距离的最小值．
D．选修4-5：不等式选讲
设n∈N^*，求证：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

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A．如图，四边形ABCD内接于⊙O，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB的延长线于E点．
求证：AB²=BE•CD．
B．已知矩阵M

2 -3 1 -1

所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
C．已知圆的极坐标方程为：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O₁与圆O₂内切于点A，其半径分别为r₁与r₂（r₁＞r₂ ）．圆O₁的弦AB交圆O₂于点C （ O₁不在AB上）．求证：AB：AC为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

1 1 2 1

，向量β=

1 2

．求向量

α

，使得A²

α

=

β

．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆

x=5cosφ y=3sinφ

（φ为参数）的右焦点，且与直线

x=4-2t y=3-t

（t为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

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一、选择题：ADBAA    BCCDB

二、填空题

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答题：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比数列，知不是最大边

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1当时，则．此时轮船更安全．

2当时，则．此时轮船和轮船一样安全．

3当时，则．此时轮船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

故.                             …（12分）

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的边长为2a，D在AB上，则a≤x≤2a，?

∵△ADE面积等于△ABC面积的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）²，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y²＝x²＋?cos60°，?

∴y²＝x²＋－2a²

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）证明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x²＝t，则a²≤t≤4a²

且y＝，设f（t）＝t＋（a²≤t≤4a²）?

当t∈（a²，2a²）时，任取a²＜t₁＜t₂＜2a²，?

f（t₁）－f（t₂）＝（t₁＋）－（t₂＋）

＝（t₁－t₂）?，?

∵a²＜t₁＜t₂＜2a²?

∴t₁t₂＞0，t₁－t₂＞0，t₁t₂－4a⁴＜0?

∴f（t₁）－f（t₂）＞0，即f（t₁）＞f（t₂）?

∴f（x）在（a²，2a²）上是减函数.?

同理可得，f（x）在（2a²，4a²）上是增函数.?

又∵f（2a²）＝4a²，f（a²）＝f（4a²）＝5a²，当t＝2a²时，f（x）有最小值，即x＝a时，y有最小值，且ymin＝a，此时DE∥BC且AD＝a；当t＝a²或4a²时，f（x）有最大值，即x＝a或2a时，y有最大值，且y_max＝a，此时DE为AB或AC边上的中线.?

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为．                                      ………（3分）

当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

当的斜率不为0时，设方程为，

代入椭圆方程整理得：．

，，．

则

          ，

而

∴，从而．

综合可知：对于任意的割线，恒有．                ………（8分）

（Ⅱ），

即：，

当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．

∴三角形△ABF面积的最大值是．                 ………………………………（13分）

21.解：（Ⅰ）由

故x>0或x≤－1

f(x)定义域为                          …………………………（4分）

（Ⅱ）

下面使用数学归纳法证明：

①在n=1时，a₁=1，<a₁<2，则n=1时（*）式成立.

②假设n=k时成立，

由

要证明：

只需

只需(2k+1)³≤8k(k+1)²

只需1≤4k²+2k

而4k²+2k≥1在k≥1时恒成立.

只需证：4k²+11k+8>0，而4k²+11k+8>0在k≥1时恒成立.

于是：

因此得证.

综合①②可知（*）式得证.从而原不等式成立.                     ………………9分

（Ⅲ）要证明：

由（2）可知只需证：

…………（**）

下面用分析法证明：（**）式成立。

要使（**）成立，只需证：

即只需证：(3n－2)³n>(3n－1)³(n－1)

只需证：2n>1

而2n>1在n≥1时显然成立.故（**）式得证：

于是由（**）式可知有：

因此有：

                     ……………………………………（13分）

雅礼中学2008届高三第八次质检数学（理科）试题参考答案

一、选择题：ADBAA    BCCDB

二、填空题

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答题：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比数列，知不是最大边

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1当时，则．此时轮船更安全．

2当时，则．此时轮船和轮船一样安全．

3当时，则．此时轮船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

故.                             …（12分）

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的边长为2a，D在AB上，则a≤x≤2a，?

∵△ADE面积等于△ABC面积的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）²，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y²＝x²＋?cos60°，?

∴y²＝x²＋－2a²

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）证明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x²＝t，则a²≤t≤4a²

且y＝，设f（t）＝t＋（a²≤t≤4a²）?

当t∈（a²，2a²）时，任取a²＜t₁＜t₂＜2a²，?

f（t₁）－f（t₂）＝（t₁＋）－（t₂＋）

＝（t₁－t₂）?，?

∵a²＜t₁＜t₂＜2a²?

∴t₁t₂＞0，t₁－t₂＞0，t₁t₂－4a⁴＜0?

∴f（t₁）－f（t₂）＞0，即f（t₁）＞f（t₂）?

∴f（x）在（a²，2a²）上是减函数.?

同理可得，f（x）在（2a²，4a²）上是增函数.?

又∵f（2a²）＝4a²，f（a²）＝f（4a²）＝5a²，当t＝2a²时，f（x）有最小值，即x＝a时，y有最小值，且ymin＝a，此时DE∥BC且AD＝a；当t＝a²或4a²时，f（x）有最大值，即x＝a或2a时，y有最大值，且y_max＝a，此时DE为AB或AC边上的中线.?

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为．                                      ………（3分）

当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

当的斜率不为0时，设