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如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆

C过F的切线交于点P和点Q，则P、Q必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上.
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；
（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：
“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，
则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请
问：此命题是否正确？试证明你的判断；
（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并
证明其真假.（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为评分依据）

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已知过点A(－1，0)的动直线l与圆C∶x²＋(y－3)²＝4相交于P，Q两点，M是PQ中点，直线l与直线m∶x＋3y＋6＝0相交于点N．

(Ⅰ)求证：当直线l与直线m垂直时，直线l必过圆心C；

(Ⅱ)探索是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

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已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（Ⅱ）当PQ=2

3

时，求直线l的方程；
（Ⅲ）探索

AM

•

AN

是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

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1．C   2．A    3．A    4．D   5. D   6．B    7. B    8. A    9. B   10．D

11.      12.  2     13.      14.     15.

16．解：（1）∵_，∴，

 ∵，∴, 即边的长度为。

（2）由_，得…………①

     _，即…………②

由①②得，由正弦定理，∴，即证。

17． 解：（1）∵函数的图象的对称轴为要使在区间上为增函数，当且仅当且。

依条件可知试验的全部结果为，即

共15个整点。

所求事件为，即共5个整点，∴所求事件

的概率为。

（2）随机变量的取值有：2，3，4，5，6。的随机分布列为：

2

3

4

5

6

随机变量的期望。

18．解法一：（1）易求，从而，由三垂线定理知：。

（2）法一：易求由勾股定理知，设点在面内的射影为，过作于，连结，则为二面角的平面角。在中由面积法易求，由体积法求得点到面的距离是

，所以，所以求二面角的大小为。

法二：易求由勾股定理知，过作于，又过作交于，连结。则易证为二面角的平面角。在中由面积法易求，从而于是，所以

，在中由余弦定理求得。再在中由余弦定理求得。最后在中由余弦定理求得，所以求二面角的大小为。

（3）设AC与BD交于O，则OF//CM，所以CM//平面FBD，当P点在M或C时，三棱锥P―BFD的体积的最小。。

解法二：空间向量解法，略。

19.解：（1）

当时，

当时，此时函数递减；当时，此时函数递增；当时，取极小值，其极小值为0。

（2）由（1）可知函数和的图像在处有公共点，因此若存在和的分界直线，则该直线过这个公共点。设分界直线的斜率为则直线方程为即由可得当时恒成立

由得。

下面证明当时恒成立。

令则

当时，。当时，此时函数递增；当时，此时函数递减；当时，取极大值，其极大值为0。

从而即恒成立。

函数和存在唯一的分界直线。

20．解：（1）设椭圆的标准方程为，则：

，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。

（2）设，则圆方程为,与圆联立消去得的方程为，过定点。

（3）将与椭圆方程联立成方程组消去得：

,设，则。

，

所以。

故存在定点，使恒为定值。

21．解：（1）法一：数学归纳法；

法二：

所以为首项为公比为2的等比数列，

，即证。

法三：，两边同除以，转化为叠加法求数列通项类型。

（2）法一：容易证明单调递增，。由函数割线斜率与中点切线斜率的关系想到先证，即证，即证

。令下证。事实上，构造函数，则

，，所以在上单调递增，故，则，即证。

于是由有，

（因为）。

法二：要证，即证