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已知点是F抛物线C 1：x2=4y与椭圆C 2：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的公共焦点，且椭圆的离心率为

1

2

（1）求椭圆的方程；
（2）过抛物线上一点P，作抛物线的切线l，切点P在第一象限，如图，设切线l与椭圆相交于不同的两点A、B，记直线OP，FA，FB的斜率分别为k，k₁，k₂（其中O为坐标原点），若k 1+k2=

20

3

k，求点P的坐标．

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一、选择题：ADBAA    BCCDB

二、填空题

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答题：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比数列，知不是最大边

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1当时，则．此时轮船更安全．

2当时，则．此时轮船和轮船一样安全．

3当时，则．此时轮船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

故.                             …（12分）

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的边长为2a，D在AB上，则a≤x≤2a，?

∵△ADE面积等于△ABC面积的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）²，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y²＝x²＋?cos60°，?

∴y²＝x²＋－2a²

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）证明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x²＝t，则a²≤t≤4a²

且y＝，设f（t）＝t＋（a²≤t≤4a²）?

当t∈（a²，2a²）时，任取a²＜t₁＜t₂＜2a²，?

f（t₁）－f（t₂）＝（t₁＋）－（t₂＋）

＝（t₁－t₂）?，?

∵a²＜t₁＜t₂＜2a²?

∴t₁t₂＞0，t₁－t₂＞0，t₁t₂－4a⁴＜0?

∴f（t₁）－f（t₂）＞0，即f（t₁）＞f（t₂）?

∴f（x）在（a²，2a²）上是减函数.?

同理可得，f（x）在（2a²，4a²）上是增函数.?

又∵f（2a²）＝4a²，f（a²）＝f（4a²）＝5a²，当t＝2a²时，f（x）有最小值，即x＝a时，y有最小值，且ymin＝a，此时DE∥BC且AD＝a；当t＝a²或4a²时，f（x）有最大值，即x＝a或2a时，y有最大值，且y_max＝a，此时DE为AB或AC边上的中线.?

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为．                                      ………（3分）

当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

当的斜率不为0时，设方程为，

代入椭圆方程整理得：．

，，．

则

          ，

而

∴，从而．

综合可知：对于任意的割线，恒有．                ………（8分）

（Ⅱ），

即：，

当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．

∴三角形△ABF面积的最大值是．                 ………………………………（13分）

21.解：（Ⅰ）由

故x>0或x≤－1

f(x)定义域为                          …………………………（4分）

（Ⅱ）

下面使用数学归纳法证明：

①在n=1时，a₁=1，<a₁<2，则n=1时（*）式成立.

②假设n=k时成立，

由

要证明：

只需

只需(2k+1)³≤8k(k+1)²

只需1≤4k²+2k

而4k²+2k≥1在k≥1时恒成立.

只需证：4k²+11k+8>0，而4k²+11k+8>0在k≥1时恒成立.

于是：

因此得证.

综合①②可知（*）式得证.从而原不等式成立.                     ………………9分

（Ⅲ）要证明：

由（2）可知只需证：

…………（**）

下面用分析法证明：（**）式成立。

要使（**）成立，只需证：

即只需证：(3n－2)³n>(3n－1)³(n－1)

只需证：2n>1

而2n>1在n≥1时显然成立.故（**）式得证：

于是由（**）式可知有：

因此有：

                     ……………………………………（13分）

雅礼中学2008届高三第八次质检数学（理科）试题参考答案

一、选择题：ADBAA    BCCDB

二、填空题

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答题：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比数列，知不是最大边

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1当时，则．此时轮船更安全．

2当时，则．此时轮船和轮船一样安全．

3当时，则．此时轮船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

故.                             …（12分）

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的边长为2a，D在AB上，则a≤x≤2a，?

∵△ADE面积等于△ABC面积的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）²，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y²＝x²＋?cos60°，?

∴y²＝x²＋－2a²

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）证明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x²＝t，则a²≤t≤4a²

且y＝，设f（t）＝t＋（a²≤t≤4a²）?

当t∈（a²，2a²）时，任取a²＜t₁＜t₂＜2a²，?

f（t₁）－f（t₂）＝（t₁＋）－（t₂＋）

＝（t₁－t₂）?，?

∵a²＜t₁＜t₂＜2a²?

∴t₁t₂＞0，t₁－t₂＞0，t₁t₂－4a⁴＜0?

∴f（t₁）－f（t₂）＞0，即f（t₁）＞f（t₂）?

∴f（x）在（a²，2a²）上是减函数.?

同理可得，f（x）在（2a²，4a²）上是增函数.?

又∵f（2a²）＝4a²，f（a²）＝f（4a²）＝5a²，当t＝2a²时，f（x）有最小值，即x＝a时，y有最小值，且ymin＝a，此时DE∥BC且AD＝a；当t＝a²或4a²时，f（x）有最大值，即x＝a或2a时，y有最大值，且y_max＝a，此时DE为AB或AC边上的中线.?

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴椭圆的标准方程为．                                      ………（3分）

当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

当的斜率不为0时，设