在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时，底面ABCD为正方形，

又因为,………………2分

又，得证。

第二问，建立空间直角坐标系，则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解：(Ⅰ)当时，底面ABCD为正方形，

又因为,又………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直，分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系，如图所示，

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m，则Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知时，存在点Q使得

当且仅当m=a-m，即m=a/2时，BC边上有且只有一个点Q，使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

（09年青岛质检理）（12分）

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

(Ⅰ)当时，求证：；

(Ⅱ) 若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

下列说法不正确的是（     ）

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；

B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D．存在两条异面直线，使得；

下列说法不正确的是（    ）

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；

B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D．存在两条异面直线，使得；