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（本小题满分14分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

	3	4	5	6
	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

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说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

      2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

      3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

A

B

A

B

C

C

D

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

9．    10．        11．         12.  

13.           14．     15．2

说明：第14题答案可以有多种形式，如可答或Z等, 均给满分.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．(本小题满分12分)          

解：（1）∵

                                                    …… 2分

                                               …… 4分       

             .                                              …… 6分

∴.                                                       …… 8分

(2) 当时, 取得最大值, 其值为2 .                      ……10分

此时，即Z.                        ……12分

17．(本小题满分12分)

解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件，.             ……3分

即这箱产品被用户接收的概率为．                                  ……4分

（2）的可能取值为1，2，3．                                            ……5分

=，                                                 

=，                                             

=，                                            ……8分

∴的概率分布列为：

1

2

3

                 ……10分

∴=．                             ……12分

18．(本小题满分14分)

解：（1）∵点A、D分别是、的中点，

∴.                                        …… 2分                   

∴∠=90º.

∴.

∴ ,                                                    

∵,

∴⊥平面.                                               …… 4分

∵平面,

∴.                                                    …… 6分

（2）法1：取的中点，连结、．

∵,

∴.                                      

∵,

∴平面.

∵平面,

∴.                    …… 8分  

∵

∴平面.

∵平面,

∴.

∴∠是二面角的平面角.                              ……10分

在Rt△中, ，

在Rt△中, ，

.                                       ……12分

∴ 二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

法2：建立如图所示的空间直角坐标系．

则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.

∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,       ……8分

设平面的法向量为=（x，y，z），则：

，                      ……10分

令，得，

∴=（1，1，－1）.

显然，是平面的一个法向量，=（）．               ……12分

∴cos<，>=． 

∴二面角的平面角的余弦值是.                         ……14分

19. (本小题满分14分)

解:(1)依题意知,                                            …… 2分           

      ∵,

∴.                                        …… 4分

∴所求椭圆的方程为.                                    …… 6分

（2）∵ 点关于直线的对称点为，

∴                                            ……8分

解得：，.                                 ……10分

∴.                                                ……12分

∵ 点在椭圆:上,

∴, 则.

∴的取值范围为.                                  ……14分

20.（本小题满分14分）

解：（1）数表中前行共有个数，

即第i行的第一个数是，                                       …… 2分

         ∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11．                                                         …… 4分

令,    

解得．                                      …… 6分

（2）∵

．                                          …… 7分

∴．                   

当时, , 则;

当时, , 则;

当时, , 则;

当时, 猜想: .                                  …… 11分

下面用数学归纳法证明猜想正确.

① 当时,, 即成立;

② 假设当时, 猜想成立, 即,

  则,

∵,

∴.

即当时，猜想也正确.

由①、②得当时, 成立.

当时,.                                               …… 13分

综上所述, 当时, ; 当时,.          …… 14分

另法( 证明当时, 可用下面的方法):

当时, C + C + C+ C

                     .

21. (本小题满分14分)

解：（1）当时，，

∴.                    

       令=0, 得 .                                     …… 2分                   

当时,, 则在上单调递增;

当时,, 则在上单调递减;

当时,, 在上单调递增.                    …… 4分   

∴ 当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为.        …… 6分

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，则△≤0，                                           …… 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上单调递增 .                                                   

∵f（0），,                  

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．        …… 9分 

② 若a＜1，则△＞0，

∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

当变化时，的取值情况如下表：                       

x

x₁

（x₁，x₂）

x₂

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

                                       …… 11分

∵,

∴.

∴

        .

同理.

∴