4.1曲边梯形的面积与定积分 学习目标: 1.理解求曲边图形面积的过程:分割.以直代曲.逼近.感受在其过程中渗透的思想方法,2.借助于几何直观定积分的基本思想.理解定积分的概念, 3. 理解掌握定积分的几何意义. 学习难点重点: 定积分的概念.定积分法求简单的定积分.定积分的几何意义 自主学习: 一.知识再现:导数的概念及应用 二.新课探究: 提出问题 如图.阴影部分类似于一个梯形.但有一边是曲线的一段.我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积? 例题分析: 求图中阴影部分是由抛物线.直线以及轴所围成的平面图形的面积S. (1).分割 在区间上等间隔地插入个点.将区间等分成个小区间: ..-. 记第个区间为 .其长度为 分别过上述个分点作轴的垂线.从而得到个小曲边梯形.他们的面积分别记作: ..-. 显然. (2)近似代替 记.如图所示.当很大.即很小时.在区间上.可以认为函数的值变化很小.近似的等于一个常数.不妨认为它近似的等于左端点处的函数值.从图形上看.就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边.这样.在区间上.用小矩形的面积近似的代替.即在局部范围内“以直代取 .则有 ① (3)求和 由①.上图中阴影部分的面积为 == == 从而得到的近似值 (4)取极限 分别将区间等分8.16.20.-等份.可以看到.当趋向于无穷大时.即趋向于0时.趋向于.从而有 归纳总结: 求曲边梯形面积的四个步骤: 第一步:分割.在区间中任意插入各分点.将它们等分成个小区间.区间的长度. 第二步:近似代替.“以直代取 .用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.求出每个小曲边梯形面积的近似值. 第三步:求和. 第四步:取极限. 定积分的概念 一般地.设函数在区间上连续.用分点 将区间等分成个小区间.每个小区间长度为().在每个小区间上取一点.作和式: 如果无限接近于(亦即)时.上述和式无限趋近于常数.那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为: .其中成为被积函数.叫做积分变量.为积分区间.积分上限.积分下限. 定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有.那么定积分表示由直线().和曲线所围成的曲边梯形的面积. 说明:一般情况下.定积分的几何意义是介于轴.函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和.在轴上方的面积取正号.在轴下方的面积去负号. 三.例题解析: 例.求围成图形面积 解:1.分割 在区间上等间隔地插入个点.将区间等分成个小区间: ..-. 记第个区间为.其长度为 分别过上述个分点作轴的垂线.从而得到个小曲边梯形.他们的面积分别记作: ..-. 显然. (2)近似代替 ∵.当很大.即很小时.在区间上.可以认为函数的值变化很小.近似的等于一个常数.不妨认为它近似的等于左端点处的函数值.这样.在区间上.用小矩形的面积近似的代替.即在局部范围内“以直代取 .则有 ① (3)求和 由①.上图中阴影部分的面积为 == = = 从而得到的近似值 (4)取极限 课堂巩固: 设S表示由曲线.x=1.以及x轴所围成平面图形的面积.求S,并用定积分表示. 归纳反思: 合作探究: 1.计算由两条抛物线和所围成的图形的面积 2..计算的值 教师备课 学习笔记 教师备课 学习笔记 教师备课 学习笔记 教师备课 学习笔记 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

由曲线y=
1x
和直线y=x-4,x=1,x=2围成的曲边梯形的面积是
ln2+1
ln2+1

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由直线x=2,x=4,y=0和曲线y=所围成的曲边梯形的面积是(  )

    A.

    B.

    C.1

    D.

      

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在求由x=a,x=b(ab),y=f(x)〔f(x)≥0〕及y=0围成的曲边梯形的面积S时,在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个分点,分别过这些分点作x轴的垂线,把曲边形分成n个小曲边形过程中,下列说法正确的个数是(  )

n个小曲边形的面积和等于S;②n个小曲边形的面积和小于S

n个小曲边形的面积和大于S

n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定.

A.1                       B.2                       C.3                       D.4

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由曲线和直线y=x-4,x=1,x=2围成的曲边梯形的面积是   

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由曲线y=
1
x
和直线y=x-4,x=1,x=2围成的曲边梯形的面积是______.

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