（2002•上海）已知函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明f（x）=0没有负数根．

（2012•上海二模）函数f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值点为．

（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=ax-

b

x

-2lnx，f(1)=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线垂直于y轴，数列{a_n}满足an+1=f′(

1

an+1

)-nan+1．
①若a₁≥3，求证：a_n≥n+2（n∈N^*）；
②若a₁=4，试比较

1

1+a1

+

1

1+a2

+

1

1+a3

+…+

1

1+an

与

2

5

的大小，并说明你的理由．

（2001•上海）对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x₀∈D，经按列发生器，其工作原理如图：
②若x₁∈D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f（x₁），并依此规律继续下去，现定义f(x)=

4x-2

x+1

．
（Ⅰ）若输入x0=

49

65

，则由数列发生器产生数列{x_n}．请写出数列{x_n}的所有项：
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x₀的值；
（Ⅲ）若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n}满足；对任意正整数n，均有x_n＞x_n+1，求x₀的取值范围．

（2007•上海模拟）若函数f（x）满足：①f（x）＞0；②任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）；③若任意a，b∈R，且a＜b，则f（a）＜f（b），试写出该函数具有的两个性质：．