（2012•蓝山县模拟）已知动圆G过点F（

3

2

，0），且与直线l：x=-

3

2

相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E．曲线E上的两个动点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知

OA

•

OB

=-9（O为坐标原点），探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由．
（3）已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x₁≠x₂且x₁+x₂=4．求△ABC面积的最大值．

已知f(x)=logax(0＜a且a≠1)的图象过点(4，2)， (1)求a的值； (2)若g(x)=f(1-x)+f(1+x)，求g(x)的解析式及定义域； (3)求g(x)单调减区间．

．

（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=lnx，g（x）=a（x²-x）（a≠0，a∈R），h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）若a=1，求函数h（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=h （x）在（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数：y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使线段AB的中点的横坐标x₀与直线AB的斜率k之间满足k=f′（x₀）？若存在，求出x₀；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=

a

x

+lnx-1．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若a＞0，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（3）若0＜a＜e，g（x）=-

2e

x

-lnx．?x₁∈（0，e]，x₂∈（0，e]，使g（x₁）=f（x₂），求a的取值范围．

（2013•成都一模）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=a（x²-x）（a≠0，a∈R），h（x）=f（x）-g（x）．
（I）若关于X的不等式g（x）≤bx-2的解集为{x|-2≤x≤-1}，求实数a，b的值；
（II）若?x＞3，f（x）≤g（x成立，求实数a的取值范围；
（III）在函数f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使线段AB的中点的横坐标x₀与直线AB的斜率k之间满足k=h′（x₀）？若存在，求出x₀；若不存在，请说明理由．