已知抛物线与轴的一个交点为A.与y轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴.及抛物线与轴的另一个交点B的坐标, ⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时.求抛物线的解析式, ⑶坐标平面内是否存在点.使得以点M和⑵中抛物线上的三点A.B.C为顶点的四边形是平行四边形?若存在.请求出点的坐标,若不存在.请说明理由．解:⑴对称轴是直线:.点B的坐标是(3,0)． --2分说明:每写对1个给1分.“直线两字没写不扣分． ⑵如图.连接PC.∵点A.B的坐标分别是A. ∴AB＝4．∴ 在Rt△POC中.∵OP＝PA-OA＝2-1＝1. ∴ ∴b＝ ------------3分当时. ∴ ------------4分 ∴ ------5分 ⑶存在．-----------6分理由:如图.连接AC.BC．设点M的坐标为． ①当以AC或BC为对角线时.点M在x轴上方.此时CM∥AB.且CM＝AB．由⑵知.AB＝4.∴|x|＝4.． ∴x＝±4．∴点M的坐标为．-9分说明:少求一个点的坐标扣1分． ②当以AB为对角线时.点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N.则∠MNB＝∠AOC＝90°． ∵四边形AMBC是平行四边形.∴AC＝MB.且AC∥MB． ∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1.MN＝CO＝． ∵OB＝3.∴0N＝3-1＝2． ∴点M的坐标为． -----------12分说明:求点M的坐标时.用解直角三角形的方法或用先求直线解析式. 然后求交点M的坐标的方法均可.请参照给分．综上所述.坐标平面内存在点.使得以点A.B.C.M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．说明:①综上所述不写不扣分,②如果开头“存在二字没写.但最后解答全部正确.不扣分. 72如图(1).在平面直角坐标系中.点A的坐标为.点B的坐标为.二次函数的图象为. (1)平移抛物线.使平移后的抛物线过点A.但不过点B.写出平移后的抛物线的一个解析式. (2)平移抛物线.使平移后的抛物线过A.B两点.记抛物线为.如图(2).求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标. (3)设P为y轴上一点.且.求点P的坐标. 上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q.使为等腰三角形. 若存在.请判断点Q共有几个可能的位置,若不存在.请说明理由. (1)等 --1分 (2)设的解析式为.联立方程组. 解得:.则的解析式为--3分点C的坐标为() --4分 (3)如答图23-1.过点A.B.C三点分别作x轴的垂线.垂足分别为D.E.F.则..得:. --5分延长BA交y轴于点G.直线AB的解析式为.则点G的坐标为(0.).设点P的坐标为(0.) ①当点P位于点G的下方时..连结AP.BP.则.又.得.点P的坐标为(0.). -- 6分 ②当点P位于点G的上方时..同理.点P的坐标为(0.). 综上所述所求点P的坐标为(0.)或(0.) -- 7分 (4) 作图痕迹如答图23-2所示. 由图可知.满足条件的点有....共4个可能的位置. -- 10分 73如图.将置于平面直角坐标系中.其中点为坐标原点.点的坐标为.． (1)若的外接圆与轴交于点.求点坐标． (2)若点的坐标为.试猜想过的直线与的外接圆的位置关系.并加以说明． (3)二次函数的图象经过点和且顶点在圆上. 求此函数的解析式．解:(1)连结AD.则∠ADO＝∠B＝600 在Rt△ADO中.∠ADO＝600 所以OD＝OA÷＝3÷＝ F 所以D点的坐标是(0.) (2)猜想是CD与圆相切 ∵ ∠AOD是直角.所以AD是圆的直径 E 又∵ Tan∠CDO=CO/OD=1/=, ∠CDO＝300 ∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即CD⊥AD ∴ CD切外接圆于点D (3)依题意可设二次函数的解析式为 : y=α 由此得顶点坐标的横坐标为:x==; 即顶点在OA的垂直平分线上.作OA的垂直平分线EF.则得∠EFA＝∠B＝300 得到EF＝EA＝可得一个顶点坐标为(.) 同理可得另一个顶点坐标为(.) 分别将两顶点代入y=α可解得α的值分别为. 则得到二次函数的解析式是y=x(x-3)或y= x(x-3) 74如图.已知 ..现以A点为位似中心.相似比为9:4.将OB向右侧放大.B点的对应点为C． (1) 求C点坐标及直线BC的解析式; (2) 一抛物线经过B.C两点.且顶点落在x轴正半轴上.求该抛物线的解析式并画出函数图象; (3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P.请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．解解: (1) 过C点向x轴作垂线.垂足为D.由位似图形性质可知: △ABO∽△ACD. ∴．由已知.可知: ． ∴．∴C点坐标为．·················· 2分直线BC的解析是为: 化简得: ·················································· 3分 (2)设抛物线解析式为.由题意得: . 解得: , ∴解得抛物线解析式为或．又∵的顶点在x轴负半轴上.不合题意.故舍去． ∴满足条件的抛物线解析式为······························································· 5分 (准确画出函数图象)········································································· 7分 (3) 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P.设P到直线AB的距离为h. 故P点应在与直线AB平行.且相距的上下两条平行直线和上．······················ 8分由平行线的性质可得:两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．如图.设与y轴交于E点.过E作EF⊥BC于F点. 在Rt△BEF中.. ∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为·············································· 10分同理可求得直线与y轴交点坐标为································································· 11分 ∴两直线解析式,．根据题意列出方程组: ⑴,⑵ ∴解得:,,, ∴满足条件的点P有四个.它们分别是...········ 15分 75如图.直角梯形中.∥,为坐标原点.点在轴正半轴上.点在轴正半轴上.点坐标为(2.2).∠= 60°.于点.动点从点出发.沿线段向点运动.动点从点出发.沿线段向点运动.两点同时出发.速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒. (1)求的长, (2)若的面积为. 求与之间的函数关系式.并求为何值时.的面积最大.最大值是多少? (3)设与交于点.①当△为等腰三角形时.求(2)中的值. ②探究线段长度的最大值是多少.直接写出结论. (08湖北仙桃等4市25题解析)解:(1)∵∥ ∴ 在中. , ∴. ∴ 而 ∴为等边三角形 ∴- (2)∵ ∴ ∴ = ()---------- 即 ∴当时.--------------- (3)①若为等腰三角形.则: (i)若. ∴∥ ∴ 即解得: 此时------------ (ii)若. ∴ 过点作.垂足为.则有: 即解得: 此时-------------- (iii)若. ∴∥ 此时在上.不满足题意.----------------- ②线段长的最大值为-------------------- 76如图9.在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG.且CD＝6㎝,在△ABC中:∠C＝90O.∠A＝300.AB＝4㎝,在直角梯形DEFG中:EF//DG.∠DGF＝90O ,DG＝6㎝.DE＝4㎝.∠EDG＝600.解答下列问题: (1)旋转:将△ABC绕点C顺时针方向旋转900.请你在图中作出旋转后的对应图形 △A1B1C.并求出AB1的长度, (2)翻折:将△A1B1C沿过点B1且与直线垂直的直线翻折.得到翻折后的对应图形 △A2B1C1.试判定四边形A2B1DE的形状?并说明理由, (3)平移:将△A2B1C1沿直线向右平移至△A3B2C2.若设平移的距离为x.△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为y.当y等于△ABC面积的一半时,x的值是多少? 解:(1)在△ABC中由已知得:BC=2.AC＝AB×cos30°=. ∴AB1=AC+C B1=AC+CB=.--------------2分 (2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下: ∵∠EDG＝60°.∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°.∴A2B1∥DE 又A2B1＝A1B1＝AB＝4.DE＝4.∴A2B1＝DE,故结论成立.------4分 (3)由题意可知: S△ABC=. ① 当或时.y＝0 此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半-----5分 ②当时.直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=(x-2)㎝.则y＝, 当y= S△ABC= 时.即 . 解得(舍)或. ∴当时.重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半. ③当时.△A3B2C2完全与等腰梯形重叠.即-----7分 ④当时,B2G=B2C2-GC2=2-(-8)=10- 则y＝, 当y= S△ABC= 时.即 . 解得,或. ∴当时.重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.---9分由以上讨论知,当或时, 重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.---10分 77如图.在边长为4的正方形中.点在上从向运动.连接交于点． (1)试证明:无论点运动到上何处时.都有△≌△, (2)当点在上运动到什么位置时.△的面积是正方形面积的, (3)若点从点运动到点.再继续在上运动到点.在整个运动过程中.当点运动到什么位置时.△恰为等腰三角形． (1)证明:在正方形中. 无论点运动到上何处时.都有 = ∠=∠ = ∴△≌△·············································· 2分 (2)解法一:△的面积恰好是正方形ABCD面积的时. 过点Q作⊥于,⊥于.则 = == ∴= ·········································································································· 4分由△ ∽△得解得 ∴时.△的面积是正方形面积的 ······························· 6分解法二:以为原点建立如图所示的直角坐标系.过点作⊥轴于点.⊥轴于点． == ∴= ∵点在正方形对角线上 ∴点的坐标为 ∴ 过点(0.4).(两点的函数关系式为: 当时. ∴点的坐标为(2.0) ∴时.△的面积是正方形面积的． ······························· 6分 (3)若△是等腰三角形.则有 =或=或= ①当点运动到与点重合时.由四边形是正方形知 = 此时△是等腰三角形 ②当点与点重合时.点与点也重合. 此时=, △是等腰三角形 ································· 8分 ③解法一:如图.设点在边上运动到时.有= ∵ ∥ ∴∠=∠ 又∵∠=∠ ∠=∠ ∴∠=∠ ∴ == ∵= = =4 ∴ 即当时.△是等腰三角形 ····································· 10分解法二:以为原点建立如图所示的直角坐标系.设点在上运动到时.有=．过点作⊥轴于点.⊥轴于点,则在△中..∠=45° ∴ 【查看更多】

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．（湖北潜江中考25题改编）

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如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q。

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)判断⊿BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；

(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由。（湖北潜江中考25题改编）

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如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q。

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

(2)判断⊿BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；

(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由。（湖北潜江中考25题改编）

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如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．（湖北潜江中考25题改编）

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