题目列表(包括答案和解析)
如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点,若CF∥AB,证明:
(Ⅰ) CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识,是简单题.
【解析】(Ⅰ) ∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC,
∵CF∥AB, ∴BCFD是平行四边形,
∴CF=BD=AD, 连结AF,∴ADCF是平行四边形,
∴CD=AF,
∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC;
(Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF,
由(Ⅰ)可知BD=CF,∴GB=BD,
∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD
过抛物线的对称轴上的定点,作直线与抛物线相交于两点.
(I)试证明两点的纵坐标之积为定值;
(II)若点是定直线上的任一点,试探索三条直线的斜率之间的关系,并给出证明.
【解析】本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力.
(1)中证明:设下证之:设直线AB的方程为: x=ty+m与y2=2px联立得消去x得y2=2pty-2pm=0,由韦达定理得
(2)中:因为三条直线AN,MN,BN的斜率成等差数列,下证之
设点N(-m,n),则直线AN的斜率KAN=,直线BN的斜率KBN=
KAN+KBN=+
本题主要考查抛物线与直线的位置关系以及发现问题和解决问题的能力.
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,|AB|=3米,|AD|=2米,
(I)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?
(II)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
(Ⅲ)若AN的长度不少于6米,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
【解析】本题主要考查函数的应用,导数及均值不等式的应用等,考查学生分析问题和解决问题的能力 第一问要利用相似比得到结论。
(I)由SAMPN > 32 得 > 32 ,
∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0
∴2<X<8/3,即AN长的取值范围是(2,8/3)或(8,+)
第二问,
当且仅当
(3)令
∴当x > 4,y′> 0,即函数y=在(4,+∞)上单调递增,∴函数y=在[6,+∞]上也单调递增.
∴当x=6时y=取得最小值,即SAMPN取得最小值27(平方米).
答案 A
解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.
当时,
反之,当时,有,
或,故应选A.
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