题目列表(包括答案和解析)
已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若数列{an}满足a1=,an+1=f(an),bn=-1,n∈N*,证明数列{bn}是等比数列,并求出{bn}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,证明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=-1, ∴===,
∴{bn}为等比数列,q=.又∵a1=,∴b1=-1=,
bn=b1qn-1=n-1=n(n∈N*).……………………………9分
(3)证明:∵anbn=an=1-an=1-=,
∴a1b1+a2b2+…+anbn=++…+<++…+
==1-<1(n∈N*).
an | 2n |
设M1(0,0),M2(1,0),以M1为圆心,| M1 M2 | 为半径作圆交x轴于点M3 (不同于M2),记作⊙M1; 以M2为圆心,| M2 M3 | 为半径作圆交x轴于点M4 (不同于M3),记作⊙M2;……;以Mn为圆心,| Mn Mn+1 | 为半径作圆交x轴于点Mn+2 (不同于Mn+1),记作⊙Mn;……当n∈N*时,过原点作倾斜角为30°的直线与⊙Mn交于An,Bn.考察下列论断:
当n=1时,| A1B1 |=2; 当n=2时,| A2B2 |=;
当n=3时,| A3B3 |=;当n=4时,| A4B4 |=;
……
由以上论断推测一个一般的结论:对于n∈N*,| AnBn |= ▲ .
设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,81}中则6q=________
由一组观测数据(x1, y1),(x2, y2),……,()得=1.542,=2.8475,, =99.208,,则回归直线方程是 .
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