题目列表(包括答案和解析)
如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,为与的交点,,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又平面,平面,∴平面由,,又,∴平面. 可得证明
(3)因为∴为面的法向量.∵,,
∴为平面的法向量.∴利用法向量的夹角公式,,
∴与的夹角为,即二面角的大小为.
方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点、,
∴,又点,,∴
∴,且与不共线,∴.
又平面,平面,∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,,即,,
又,∴平面. ………8分
(Ⅲ)∵,,∴平面,
∴为面的法向量.∵,,
∴为平面的法向量.∴,
∴与的夹角为,即二面角的大小为
【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力
已知各项都不为零的数列的前n项和为,,向量,其中N*,且∥.
(Ⅰ)求数列的通项公式及;
(Ⅱ)若数列的前n项和为,且(其中是首项,第四项为的等比数列的公比),求证:.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式和前n项和公式的运用。
(1)因为,对n=1, 分别求解通项公式,然后合并。利用,求解
(2)利用
裂项后求和得到结论。
解:(1) ……1分
当时,……2分
()……5分
……7分
……9分
证明:当时,
当时,
已知数列{an}及fn(x)=a1x+a2x2+…+anxn, fn(-1)=(-1)nn,n=1,2,3,…,
(1)求 a1, a2, a3的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求证: .
【解析】本试题主要是考查了数列中归纳猜想的原理,意义运用函数关系求解数列的通项公式,并且运用错位相减法求解数列的和的数学思想。
已知数列的前项和为,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通项公式;
(Ⅱ) 设 (N*).
①证明: ;
② 求证:.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式,表示通项公式,然后得到第一问,第二问中利用放缩法得到,②由于,
所以利用放缩法,从此得到结论。
解:(Ⅰ)当时,由得. ……2分
若存在由得,
从而有,与矛盾,所以.
从而由得得. ……6分
(Ⅱ)①证明:
证法一:∵∴
∴
∴.…………10分
证法二:,下同证法一. ……10分
证法三:(利用对偶式)设,,
则.又,也即,所以,也即,又因为,所以.即
………10分
证法四:(数学归纳法)①当时, ,命题成立;
②假设时,命题成立,即,
则当时,
即
即
故当时,命题成立.
综上可知,对一切非零自然数,不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
从而.
也即
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