题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分12分)已知函数
(I)若函数在区间上存在极值,求实数a的取值范围;
(II)当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
(Ⅲ)求证:解:(1),其定义域为,则令,
则,
当时,;当时,
在(0,1)上单调递增,在上单调递减,
即当时,函数取得极大值. (3分)
函数在区间上存在极值,
,解得 (4分)
(2)不等式,即
令
(6分)
令,则,
,即在上单调递增, (7分)
,从而,故在上单调递增, (7分)
(8分)
(3)由(2)知,当时,恒成立,即,
令,则, (9分)
(10分)
以上各式相加得,
即,
即
(12分)
。
(1)求f(x)的单调区间;
(2)讨论f(x)的极值.
所以f(-1)=2是极大值,f(1)=-2是极小值.
(2)曲线方程为y=x3-3x,点A(0,16)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x03-3x0.
因f′(x0)=3(x02-1),故切线的方程为y-y0=3(x02-1)(x-x0).
注意到点A(0,16)在切线上,有16-(x03-3x0)=3(x02-1)(0-x0),
化简得x03=-8,解得x0=-2.
所以切点为M(-2,-2),
切线方程为9x-y+16=0.
已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为d,为其前n项和,且满足,.数列满足,,为数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式和数列的前n项和;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.
【解析】第一问利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又时,满足,
,
第二问,①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时 需满足.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时取得最小值-6.
此时 需满足.
第三问,
若成等比数列,则,
即.
由,可得,即,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又时,满足,
,
.
(2)①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时 需满足.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时取得最小值-6.
此时 需满足.
综合①、②可得的取值范围是.
(3),
若成等比数列,则,
即.
由,可得,即,
.
又,且m>1,所以m=2,此时n=12.
因此,当且仅当m=2, n=12时,数列中的成等比数列
x2 | ||
|
x2 | ||
|
x2 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
sinx |
x |
x2 |
3! |
x4 |
5! |
x6 |
7! |
sinx |
x |
x2 |
3! |
x4 |
5! |
x6 |
7! |
x2 |
π2 |
x2 |
22•π2 |
x2 |
n2π2 |
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
π2 |
6 |
π2 |
6 |
Sn+64 |
n |
2 |
S1S3 |
3 |
S2S4 |
n+1 |
SnSn+2 |
5 |
16 |
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