(1)求数列{a_n}的首项a₁和公比q;

(2)对给定的k(k=1,2,…,n)，设T^(k)是首项为a_k，公差为2a_k-1的等差数列，求数列T⁽²⁾的前10项之和；

(3)设bⁱ为数列T⁽ⁱ⁾的第i项，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n，并求正整数m(m＞1)，使得存在且不等于零.

(注：无穷等比数列各项的和即当n→∞时该无穷等比数列前n项和的极限)

已知数列{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和．
（1）当首项a₁=2，公比q=时，对任意的正整数k都有（0＜c＜2）成立，求c的取值范围；
（2）判断S_nS_n+2-的符号，并加以证明；
（3）是否存在正常数m及自然数n，使得lg（S_n-m）+lg（S_n+2-m）=2lg（S_n+1-m）成立？若存在，请求出相应的m，n；若不存在，说明理由．